Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

1) найти общее решение;
2) решить задачу Коши.
Пример 1.3. Найти частное решение дифференциального уравнения
2
xy =
′
, проходящее через точку
(
)
3;1 − (решить задачу Коши).
Решение. Проинтегрировав исходное уравнение, получим
c
3
x
dxxy
3
2
+=
∫
= .
Это общее решение. Чтобы найти частное решение, подставим начальные
значения 1x
0
= и 3y
0
−= в общее решение
c
3
x
y
3
+= : c
3
1
3 +=− .
Тогда
3
10
c −= и
3
10
3
x
y
3
−= .
Ответ:
3
10
3
x
y
3
−= .
Построенный на плоскости xy0 график всякого решения
(
)
xyy =
дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого
уравнения. Таким образом, общему решению
(
)
cx,yy = на плоскости
xy0 соответствует семейство интегральных кривых.
1.2.2. Теорема существования и единственности
решения задачи Коши. Особые решения
Теорема 1.1. Пусть дано дифференциальное уравнение
(
)
y,xfy =
′
, (1.4)
где функция
(
)
yx,f определена и непрерывна в области D, содержащей
точку
(
)
00
y,x , частная производная
y
f
∂
∂
существует и ограничена в
области D. Тогда существует единственное решение
(
)
xy ϕ= уравнения

Страницы