Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(1.4), удовлетворяющее условию
(
)
00
xy ϕ= и определенное на некотором
интервале
(
)
hx,hx
00
+− ,
0h
>
.
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и
притом единственная функция
(
)
xy ϕ= , интегральная кривая которой
проходит через точку
(
)
00
y,x . Если условия теоремы не выполнены, то
могут возникнуть особые решения.
Определение 1.5. Особым решением дифференциального уравнения (1.4)
называется такое решение, в каждой точке которого нарушается
единственность.
Пример 1.4. Найти особые решения дифференциального уравнения
3
yy =
′
.
Решение. Так как
(
)
3
yy,xf = , то
3
2
y3
1
y
f
=
∂
∂
. При y,
стремящемся к нулю,
частная производная
y
f
∂
∂
стремится к бесконечности. Значит, условия теоремы 1.1 не выполнены, если в
качестве области D рассматривать окрестность любой точки оси Oх.
Непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение можно
убедиться, что 0y
=
и cy
2
3
x
3
2
+= ,
Rc
∈
, являются решениями
дифференциального уравнения. В каждой точке оси Oх нарушается
единственность, следовательно, 0y
=
– особое решение (рис. 1.2).
1.2.3. Метод изоклин
Если для дифференциального уравнения (1.4) выполняются условия
теоремы 1.1, то через точку
(
)
00
y,x проходит единственная интегральная
кривая, задаваемая уравнением
(
)
xyy = . Так как производная
(
)
(
)
(
)
xy,xfxy =
′
, то число
(
)
00
y,xf является тангенсом угла наклона

Страницы