Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Для решения уравнения (1.5) разделим обе его части на
(
)
(
)
yNxP ⋅ ,
предполагая, что оно не равно нулю. Получим
(
)
()
(
)
()
0
xP
dxxM
yN
dyyQ
=+
,
где при
dx
стоит функция только одной переменной x, а при dy стоит
функция только переменной y. В этом случае говорят, что переменные
разделены. Беря интегралы от левой и правой частей равенства, будем иметь
(
)
()
(
)
()
с
xP
dxxM
yN
dyyQ
=
∫
+
∫
. (1.6)
Соотношение (1.6) представляет собой общий интеграл уравнения (1.5).
Если
(
)
0xP = при
a
x
=
или
(
)
0yN = при by
=
, то
непосредственной подстановкой в уравнение (1.5) проверяется, являются ли
a
x
=
или by
=
решениями уравнения.
Пример 1.7. Найти общее решение уравнения
(
)
0ydydx1yx
2
=+− .
Решение. Данное уравнение имеет вид (1.5). Действительно, здесь
(
)
xxP = ,
(
)
1yyQ
2
−= ,
(
)
1xM = ,
(
)
yyN = . Для получения
уравнения с разделенными переменными разделим обе части данного
уравнения на 1y
2
− , предполагая, что 01y
2
≠− . Получим
xdx
1y
ydy
2
−=
−
. Далее, интегрируя почленно, имеем
∫
−=
∫
−
xdx
1y
ydy
2
.
Так как
∫ ∫
+−=+==
=
−=
=
−
c1yln
2
1
ctln
2
1
t
dt
2
1
ydy2dt
1yt
1y
ydy
2
2
2
,
то

Страницы