ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
uxuy
+
⋅
′
=
′
. Если
x
u
y
⋅
=
является решением уравнения (1.4), то при
постановке y и y
′
в уравнение получится верное равенство. Имеем
(
)
xu,xfuxu ⋅=+⋅
′
,
(
)
uu,1fxu −=⋅
′
,
( )
uu,1fx
dx
du
−= ,
( )
x
dx
uu,1f
du
=
−
(
0x
≠
,
(
)
uu,1f ≠ ). Получили уравнение с
разделяющимися переменными, у которого общий интеграл
( )
сlnxln
uu,1f
du
+=
∫
−
, Rс
∈
.
После вычисления интеграла выполняется обратная замена
x
y
u = .
Отдельно непосредственной подстановкой в уравнение
(
)
uu,1fxu −=
′
проверяется, являются ли
0x
=
и
0
uu =
(
)
(
)
00
uu,1f = решениями.
Пример 1.10. Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y
x
y
tgy +=
′
. (1.8)
Решение. Так как
( ) ( )
y,xf
x
y
x
y
tg
tx
ty
tx
ty
tgtytx,f =+=+=
,
то дифференциальное уравнение (1.8) является однородным. Выполняем
замену
x
y
u = . Подставляем
ux
y
=
и uxuy
+
⋅
′
=
′
в
дифференциальное уравнение (1.8), имеем utguuxu
+
=
+
⋅
′
,
tguxu
=
⋅
′
. После разделения переменных получаем
x
dx
tgu
du
=
,
0x
≠
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
