Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

удовлетворяющее условию
(
)
13y = .
Решение. Составляем систему (1.10) для исходного дифференциального
уравнения
=−−
=−+
01kh
03kh
, она имеет решение
2
h
=
,
1
k
=
. Выполняем
замену 2xx
1
+= , 1yy
1
+= , после подстановки в дифференциальное
уравнение получаем
11
11
1
1
yx
yx
dx
dy
−
+
= . Это однородное уравнение решаем
подстановкой
11
xuy ⋅= ,
1
1
1
1
dx
du
xu
dx
dy
+= . Тогда
u1
u1
dx
du
xu
1
1
−
+
=+ или
u1
u1
dx
du
x
2
1
1
−
+
=
. После разделения
переменных будем иметь
1
1
2
x
dx
du
u1
u1
=
+
−
. Интегрируя почленно
последнее уравнение, получаем
∫
=
∫
+
−
1
1
2
x
dx
ud
u1
u1
. Так как
(
)
=
∫
+
+
−=
∫
+
−
∫ ∫
+
=
+
−
2
2
222
u1
1ud
2
1
arctgu
u1
udu2
2
1
u1
du
du
u1
u1
(
)
cu1ln
2
1
arctgu
2
++−= ,
то
(
)
clnxlnuarctgu1ln
2
1
1
2
+=++− ,
uarctg2
1
eu1cx =+ .
Заменяем
1
1
x
y
u = , тогда
1
1
x
y
arctg
2
1
2
1
eyxc =+ . Но 2xx
1
−= ,
1yy
1
−= , значит, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Страницы