Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Если
(
)
0xQ ≡ , то уравнение (1.11) называется линейным однородным,
если существует
0
x такое, что
(
)
0xQ ≠ , то уравнение (1.11) называется
линейным неоднородным.
Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение
(
)
0yxPy =+
′
. (1.12)
Оно является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к
виду
()
dxxP
y
dy
−=
. Тогда
()
∫
−=
∫
dxxP
y
dy
,
(
)
∫
−= dxxPyln , и
(
)
∫
−
=
dxxP
cey будет общим решением уравнения (1.12).
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.11)
предлагается 2 способа нахождения общего решения.
1) Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа)
При отыскании общего решения линейного неоднородного уравнения
(1.11) используем общее решение соответствующего линейного однородного
уравнения (1.12): будем находить решение в виде
()
(
)
∫
−
=
dxxP
excy
~
,
()
(
)
() ()
(
)
(
)
∫∫
−−
−+
′
=
′
dxxPdxxP
exPxcexcy
~
.
Здесь
(
)
xс – функция, подлежащая определению. Для ее нахождения
подставим
(
)
xy
~
и
(
)
xy
~
′
в уравнение (1.11). Поскольку
()
(
)
() ()( )
(
)
∫∫
−−
−+
′
=
′
dxxPdxxP
exPxcexcy
~
,
то подстановка
(
)
xy
~
и
(
)
xy
~
′
в (1.11) приводит к уравнению
()
(
)
()()
(
)
()()
(
)
()
xQexcxPexcxPexc
dxxPdxxPdxxP
=+−
′
∫∫∫
−−−
или
() ()
(
)
∫
=
′
dxxP
exQxc .
Проинтегрировав это уравнение, получим
() ()
(
)
c
~
dxexQxc
dxxP
+
∫
=
∫
,
Rc
~
∈
.
Итак, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.11) имеет вид

Страницы