Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
()
(
)
∫
⋅+=
∫∫∫
−−
dxexQeec
~
y
dxxPdxxPdxxP
.
2) Метод Бернулли
Будем искать решение уравнения (1.11) как произведение двух функций:
(
)
(
)
xvxuy ⋅= . Дифференцируя обе части равенства, получаем
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
+= . Подставив
y
и y
′
в уравнение (1.11), будем иметь
() ()
xQuvxP
dx
du
v
dx
dv
u =++ или
() ()
xQ
dx
du
vvxP
dx
dv
u =+
+ . (1.13)
Поскольку необходимо найти две функции
(
)
xu и
(
)
xv , а уравнение для их
нахождения одно – (1.13), то выберем функцию v так, чтобы
()
0vxP
dx
dv
=+ . Решив это линейное однородное уравнение, получим
(
)
∫
−
=
dxxP
1
ecv , Rc
1
∈ . Пусть 1c
1
= , тогда
(
)
∫
−
=
dxxP
ev
, где
(
)
dxxP
∫
– одна из первообразных неопределенного интеграла.
Функцию
u
найдем из уравнения
()
xQ
dx
du
v = , которое получается
из (1.13) при условии
()
0vxP
dx
dv
=+ , т.е. при
(
)
∫
−
=
dxxP
ev
. Интегрируя
уравнение
(
)
dx
v
xQ
du = , получаем
(
)
cdx
v
xQ
u +
∫
= . Тогда общее
решение линейного неоднородного уравнения (1.11) запишется
(
)
()
()
() ()
∫∫∫
−−
+
∫
=⋅+
∫
⋅=
dxxPdxxPdxxP
cedxexQevcdx
v
xQ
vy ,
Rc
.
Замечание. Уравнение (1.13) можно преобразовать и к виду

Страницы