Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Свойство 1. Если
1
y и
2
y – два частных решения уравнения (1.26), то
21
yy + – также решение этого уравнения.
Доказательство. Так как
1
y и
2
y – решения уравнения (1.26), то
(
)
(
)
0yxpyxpy
12111
=+
′
⋅+
′
′
и
(
)
(
)
0yxpyxpy
22212
=+
′
⋅+
′
′
.
Проверим, является ли
21
yy + решением уравнения (1.26), выполним
подстановку:
( ) ()( ) ()( )
=++
′
+⋅+
″
+
21221121
yyxpyyxpyy
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=+
′
+
′
′
++
′
+
′
′
=
2221212111
yxpyxpyyxpyxpy
000
=
+
=
, т.е.
21
yy + – тоже решение. ■
Свойство 2. Если
1
y – решение уравнения (1.26), c – произвольная
постоянная, то
1
yc⋅ – также решение уравнения (1.26).
Определение 1.18. Две функции
1
y и
2
y называются линейно
зависимыми на сегменте
[
]
ba, , если существует некоторое число
λ
такое,
что
21
yy λ≡ (или
12
yy λ≡ ) на
[
]
ba, . В противном случае функции
называются линейно независимыми.
Функции
2
1
xy = и
2
2
x2y = линейно зависимы, так как
12
y2y = .
Определение 1.19. Определителем Вронского или вронскианом
дифференцируемых функций
1
y и
2
y называется определитель
( )
2121
21
21
21
yyyy
yy
yy
y,yW ⋅
′
−
′
⋅=
′′
=
.
Теорема 1.3. Если функции
1
y и
2
y линейно зависимы на сегменте
[
]
ba, , то определитель Вронского
(
)
0y,yW
21
≡ на
[
]
ba, .

Страницы