Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

′
+
′
=
′
+=
,ycycy
,ycycy
2021010
2021010
где
(
)
0110
xyy = ,
(
)
0220
xyy = ,
(
)
0110
xyy
′
=
′
,
(
)
0220
xyy
′
=
′
. Эта
система имеет единственное решение
0
1
c ,
0
2
c , так как определитель системы
есть определитель Вронского
2010
2010
yy
yy
′′
, который не равен нулю в силу
линейной независимости
1
y и
2
y . Решение
2
0
21
0
1
ycycy +=
удовлетворяет заданным начальным условиям. ■
Определение 1.20. Два линейно независимых решения
1
y и
2
y
уравнения (1.26) называются фундаментальной системой решений уравнения
(1.26).
1.3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение вида
0ayyby
=
+
′
+
′
′
, (1.27)
где a и b – постоянные числа. Найдем фундаментальную систему решений
данного уравнения. Пусть решения уравнения (1.27) имеют вид
kx
ey = , где
k – постоянная. Подставив функцию y и ее производные
kx
key =
′
,
kx2
eky =
′′
в уравнение (1.27), получим
(
)
0abkke
2kx
=++ . Таким
образом,
kx
ey = является решением уравнения (1.27) тогда и только тогда,
когда
0abkk
2
=++
. (1.28)
Уравнение (1.28) называется характеристическим.
Далее алгоритм нахождения решений зависит от вида дискриминанта
уравнения (1.28).
1. Дискриминант уравнения (1.28)
0D
>
.

Страницы