Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Так как
1
y и
2
y линейно зависимы, то
21
yy λ= , где
λ
– некоторое число (или
12
yy λ= ). Тогда
21
yy
′
λ=
′
и
( )
0
yy
yy
yy
yy
yy
yy
y,yW
11
11
11
11
21
21
21
=
′′
λ=
′
λ
′
λ
=
′′
=
. ■
Свойство 3. Если определитель Вронского
(
)
21
y,yW , составленный
для решений
1
y и
2
y линейного однородного дифференциального уравнения
(1.26), не равен нулю при некотором значении
0
xx = на сегменте
[
]
ba, , где
(
)
xp
1
и
(
)
xp
2
непрерывны, то
(
)
21
y,yW не обращается в нуль ни при
каком значении
[
]
ba,x ∈ .
Замечание. Если найдется
[
]
ba,x
0
∈ такое, что
(
)
0y,yW
21
= , то
(
)
0y,yW
21
≡ на
[
]
ba, .
Свойство 4. Если решения
1
y и
2
y уравнения (1.26) линейно
независимы на сегменте
[
]
ba, , то определитель Вронского
(
)
21
y,yW не
обращается в нуль ни в одной точке указанного сегмента.
Свойство 5. (структура общего решения) Если
1
y и
2
y – два линейно
независимых решения уравнения (1.26), то
2211
ycycy += , где
1
c и
2
c –
произвольные постоянные, есть его общее решение.
Доказательство. Из свойств 1 и 2 следует, что
2211
ycycy += –
решение уравнения (1.26) при любых значениях
1
c и
2
c . Покажем, что
каковы бы ни были начальные условия
(
)
00
yxy = и
(
)
00
yxy
′
=
′
, можно
так подобрать
1
c и
2
c , чтобы соответствующее частное решение
2211
ycyc + удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя
начальные условия в функцию
2211
ycycy += , получаем систему

Страницы