Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда уравнение (1.28) имеет различные действительные корни
1
k ,
2
k ,
им соответствуют решения уравнения (1.27)
xk
1
1
ey =
и
xk
2
2
ey =
.
Покажем, что они линейно независимы. Вронскиан
( ) ( )
0ekk
ekek
ee
y,yW
xkxk
12
xk
2
xk
1
xkxk
21
21
21
21
≠−==
+
,
следовательно,
1
y и
2
y образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения (1.27) –
xk
2
xk
1
21
ececy += , Rc,c
21
∈ .
Пример 1.19. Найти общее решение дифференциального уравнения
0y2yy
=
−
′
−
′
′
.
Решение. Для дифференциального уравнения составим
характеристическое уравнение
02kk
2
=−−
. Квадратное уравнение имеет
решения 2k
1
= , 1k
2
−= , им соответствуют частные решения
дифференциального уравнения
x2
1
ey = ,
x
2
ey
−
= . Значит, общее
решение
x
2
x2
1
ececy
−
+=
.
Ответ:
x
2
x2
1
ececy
−
+=
, Rc,c
21
∈ .
2. Дискриминант
0D
=
.
Характеристическое уравнение (1.28) имеет один кратный корень
0
k .
Функция
xk
1
0
ey = является решением уравнения (1.27). Можно показать,
что в качестве второго решения допустимо взять
xk
2
0
xey = . Вронскиан
( )
0e
exkeek
xee
y,yW
xk2
xk
0
xkxk
0
xkxk
21
0
000
00
≠=
+
=
,
поэтому
1
y и
2
y линейно независимы, и общее решение уравнения (1.27)
имеет вид

Страницы