Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

2
y есть решение уравнения
(
)
(
)
(
)
xqyxpyxpy
221
=+
′
+
′
′
,…,
m
y есть решение уравнения
(
)
(
)
(
)
xqyxpyxpy
m21
=+
′
+
′
′
, то
m21
y...yyy +++= есть решение уравнения (1.29).
Свойство 3. (структура общего решения). Пусть
y
– общее решение
линейного однородного уравнения (1.26), y
~
– какое-нибудь частное решение
линейного неоднородного уравнения (1.29). Тогда y
~
yy
+
=
является
общим решением уравнения (1.29).
Доказательство. По свойству 1 y
~
yy
+
=
будет решением уравнения
(1.29). Покажем, что y – общее решение. Выберем произвольные начальные
условия
(
)
00
yxy = ,
(
)
00
yxy
′
=
′
. Так как
y
– общее решение уравнения
(1.26), то
2211
ycycy += , где
1
y ,
2
y – линейно независимые решения
уравнения (1.26). Тогда y
~
ycycy
2211
++= . Подставив в это выражение
начальные условия, получим систему
′
+
′
+
′
=
′
++=
,y
~
ycycy
,y
~
ycycy
02021010
02021010
где
10
y ,
20
y ,
0
y
~
,
10
y
′
,
20
y
′
,
0
y
~
′
– числовые значения
1
y ,
2
y , y
~
,
1
y
′
,
2
y
′
, y
~
′
при
0
xx = . Система имеет единственное решение
0
11
сс = ,
0
22
сс = , так как ее определитель является определителем Вронского для
линейно независимых функций и отличен от нуля. Таким образом, решение
y
~
ycycy
2
0
21
0
1
++= удовлетворяет выбранным начальным условиям, и
y
~
yy
+
=
является общим решением уравнения (1.29). ■
Пример 1.22. Найти общее решение уравнения
x
e8y5y4y −=−
′
−
′′
. (1.30)
Решение. Линейному неоднородному уравнению (1.30) соответствует
линейное однородное уравнение
0y5y4y
=
−
′
−
′
′
. (1.31)
Составляем характеристическое уравнение для уравнения (1.31):

Страницы