Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, функции
1
c и
2
c должны удовлетворять системе
()
=
′′
+
′′
=
′
+
′
.xqycyc
,0ycyc
2211
2211
(1.32)
Система (1.32) является системой линейных алгебраических уравнений
относительно
1
c
′
и
2
c
′
, которая имеет единственное решение
(
)
xc
11
ϕ=
′
,
(
)
xc
22
ϕ=
′
. Откуда
(
)
111
c
~
dxxc +
∫
ϕ= ,
(
)
222
c
~
dxxc +
∫
ϕ= ,
21
c
~
,c
~
– произвольные постоянные. Получили общее решение уравнения
(1.29)
(
)
(
)
∫
ϕ+
∫
ϕ++=
22112211
ydxxydxxyc
~
yc
~
y .
Пример 1.23. Найти общее решение дифференциального уравнения
x
cos
1
yy =+
′′
. (1.33)
Решение. Уравнение (1.33) является линейным неоднородным второго
порядка с постоянными коэффициентами, ему соответствует линейное
однородное уравнение
0yy
=
+
′
′
. (1.34)
Найдем общее решение уравнения (1.34). Характеристическое уравнение для
уравнения (1.34) имеет вид
01k
2
=+
, его корни ik
1
= , ik
2
−= . Таким
образом, общее решение уравнения (1.34) есть
xsincxcoscy
21
+= , xcosy
1
= , xsiny
2
= , Rc,c
21
∈ .
Будем искать решение уравнения (1.33) в виде
(
)
(
)
xsinxcxcosxcy
21
+= .
Функции
(
)
xc
1
и
(
)
xc
2
должны удовлетворять системе (1.32)
=
′
+
′
−
=
′
+
′
.
xcos
1
xcoscxsinc
,0xsincxcosc
21
21

Страницы