Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

б) Если
α
– корень кратности
l
(
1
=
l
или
2
=
l
) уравнения (1.28),
то частное решение можно искать в виде
(
)
xQexy
~
m
xα
=
l
.
Замечание. Многочлены с неопределенными коэффициентами
записываются:
(
)
AxQ
0
= ,
(
)
BAxxQ
1
+= ,
(
)
CBxAxxQ
2
2
++= ,
RC,B,A
∈
, и так далее.
Пример 1.24. Найти общее решение уравнения
(
)
x3
e2xy9y6y
−
−=+
′
+
′′
. (1.36)
Решение. Линейному неоднородному уравнению (1.36) соответствуют
линейное однородное уравнение 0y9y6y
=
+
′
+
′
′
и характеристическое
уравнение
09k6k
2
=++
с корнем
3k
−
=
кратности 2. Следовательно,
общее решение однородного уравнения
x3
2
x3
1
xececy
−−
+= . Правая
часть уравнения (1.36) имеет вид
(
)
x
1
exP
α
, где
(
)
2xxP
1
−= – многочлен
первой степени,
3
−
=
α
– кратности
2
=
l
характеристического уравнения.
Поэтому частное решение уравнения (1.36) ищем в виде
(
)
(
)
x32x3
1
eBAxxexQxy
~
−−
+==
l
. Дальнейшие вычисления оформим
следующим образом. Расположим y
~
, y
~
′
и y
~
′
′
в столбик, слева от них
запишем соответствующие коэффициенты уравнения (1.36).
( )
( )
.eB2Bx12Ax6Bx9Ax18Ax9y
~
eBx3Ax3Bx2Ax3y
~
eBxAxy
~
1
6
9
x3223
x3232
x323
−
−
−
+−++−=
′′
−−+=
′
+=
Умножая y
~
, y
~
′
и y
~
′
′
на коэффициент слева, складываем строки и
приравниваем к
(
)
(
)
x3
e2xxf
−
−= . После деления уравнения на
x3
e
−
,
получим
−+−−+++
323223
Ax9Bx18Ax18Bx12Ax18Bx9Ax9
2xB2Bx12Ax6Bx9Ax18
22
−=+−++−
.

Страницы