Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

05k4k
2
=−−
,
корни этого уравнения 5k
1
= , 1k
2
−= . Значит, общее решение уравнения
(1.31) имеет вид
x
2
x5
1
ececy
−
+= .
Для уравнения (1.30) нетрудно подобрать частное решение
x
ey
~
= (при
подстановке его в уравнение (1.30) получается тождество). Следовательно, по
свойству 3 общим решением уравнения (1.30) будет функция
xx
2
x5
1
eececy ++=
−
.
Ответ:
xx
2
x5
1
eececy ++=
−
, Rc,c
21
∈ .
1.3.6. Метод вариации произвольных постоянных
В пункте 1.3.5. показано, что если удалось подобрать частное решение
уравнения (1.29), то с помощью него можно записать общее решение этого
уравнения. Для произвольного уравнения сделать это достаточно сложно.
Рассмотрим более общий способ рассуждений.
Предположим, что известна фундаментальная система решений
1
y ,
2
y
уравнения (1.26). Тогда общее решение уравнения (1.26) есть функция
2211
ycycy += , Rc,c
21
∈ .
Будем считать решение уравнения (1.29) в виде
(
)
(
)
2211
yxcyxcy += ,
где
(
)
xc
1
,
(
)
xc
2
– подлежащие определению функции переменной x.
Вычисляем первую производную
22112211
ycycycycy
′
+
′
+
′
+
′
=
′
.
Пусть функции
1
c и
2
c таковы, что 0ycyc
2211
=
′
+
′
и
2211
ycycy
′
+
′
=
′
. Далее
22112211
ycycycycy
′
′
+
′
′
+
′
′
+
′
′
=
′
′
. После
подстановки
y
, y
′
и y
′
′
в уравнение (1.29) получим
(
)
xqycyc
2211
=
′
′
+
′
′
.

Страницы