Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

характеризует внешнее воздействие на систему. Уравнению (1.2)
соответствуют линейное однородное уравнение
0xax2bx
2
=+
′
+
′′
, (1.38)
характеристическое уравнение
0abk2k
22
=++
с дискриминантом
(
)
22
ab4D −= . [В уравнении (1.38) внешние силы не учитываются.]
1.
0D
>
или
0ab
22
>−
возможно в случае, когда сопротивление
системы велико. Общее решение уравнения (1.38) имеет вид
tabb
2
tabb
1
2222
ececx
−−−
−−−
+= .
При наличии начальных условий
(
)
0x0x
0
≠= ,
(
)
00x =
′
из общего
решения выделяется некоторое частное
tabb
0
2
tabb
0
1
2222
ececx
−−−
−−−
+= .
Так как в этом случае 0abb
22
<−±− , то
tabb
22
e
−±−
стремится
к нулю при t, стремящемся к
∞
+
, т.е.
(
)
tx стремится к нулю. Такое
движение, когда
(
)
tx стремится к нулю при t, стремящемся к
∞
+
,
называется апериодическим.
Если 0сс
0
2
0
1
<⋅ , то существует
0
t такое, что
(
)
0tx
0
= , значит,
положение равновесия системой достигается; если 0сс
0
2
0
1
>⋅ , то положение
равновесия не достигается.
2.
0D
=
при
22
ab =
возможно в случае, когда сила сопротивления
равна силе упругости (для груза, подвешенного на пружине).
Общее решение уравнения (1.38)
bt
2
tb
1
tececx
−−
+= снова дает
апериодическое движение.
3. Если сопротивление системы мало, то
ab
<
и
0D
<
.
Корнями характеристического уравнения являются

Страницы