Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

ibabk
22
2,1
−±−= ,
b
−
=
α
,
22
ba −=β .
Общее решение уравнения (1.38) имеет вид
(
)
=−+−=
−
tbasinctbacoscex
22
2
22
1
bt
(
)
γ+−=
−
tbasinAe
22bt
,
где
2
2
2
1
ccA += ,
2
2
2
1
1
cc
c
arcsin
+
=γ
. Так как
(
)
γ+− tbasin
22
– периодическая функция, то положение равновесия
будет периодически повторяться.
Величина
-bt
eA ⋅
называется амплитудой и стремится к нулю при t,
стремящемся к
∞
+
, величина
γ
называется начальной фазой.
Итак, в случае 3, когда сопротивление мало, в колебательной системе, в
которой внешние силы не учитываются, возникают затухающие колебания.
Замечание. Если
0b
=
, то
(
)
γ+= atsinAx описывает
гармонические колебания с периодом
a
2
π
.
Рассмотрим уравнение (1.2) в интересующем нас (3) случае.
Пусть
0b
≠
,
(
)
tsinHtf ω= . В соответствии с теорией пункта 1.3.7
0
=
α
(в функции
(
)
tf
1e
t
=
α
),
ω
=
β
,
(
)
HtP
m
= ,
(
)
0tP
n
= ,
0nm
=
=
. Число ii
ω
=
β
+
α
не является корнем характеристического
уравнения, значит,
0
=
l
. Частное решение уравнения (1.2) будем искать в
виде
tsinCtcosBx
~
ω
+
ω
=
. Составляем таблицу
.tsinCtcosBx
~
tcosCtsinBx
~
tsinCtcosBx
~
1
b2
a
22
2
ωω−ωω−=
′′
ωω+ωω−=
′
ω+ω=
Складывая строчки и приравнивая к
(
)
tf , получаем

Страницы