Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Обозначим
n
–е частные суммы рядов (2.1), (2.2) и (2.3)
через
n
S ,
n
S
~
и
n
S соответственно. Тогда
(
)
(
)
(
)
=++++++=
nn2211n
ba...babaS
(
)
(
)
nnn21n21
S
~
Sb...bba...aa +=+++++++= .
Переходя к пределу при
+∞
→
n
, получаем
(
)
S
~
SS
~
limSlimS
~
SlimSlim
n
n
n
n
nn
n
n
n
+=+=+=
+∞→+∞→+∞→+∞→
,
так как SSlim
n
n
=
+∞→
и S
~
S
~
lim
n
n
=
+∞→
по условию. Значит, ряд (2.3)
сходится и его сумма равна
S
~
S +
. ■
Свойство 2. Если ряд (2.1) сходится и его сумма равна
S
, то ряд
...a...aa
n21
+α++α+α
тоже сходится и его сумма равна
S
α
, где
α
– произвольное фиксированное
число.
Свойство 3. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его
членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если
сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного
ряда, то и данный ряд также сходится.
Пример 2.3. (геометрическая прогрессия). Ряд
...aq...aqaqa
1n2
+++++
−
(2.4)
представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической
прогрессии с первым членом
a
и знаменателем
q
. Известно, что
(
)
q1
q1a
S
n
n
−
−
= при 1q
.
1. Пусть 1q < , тогда
(
)
q1
a
q1
q1a
limSlim
n
n
n
n
−
=
−
−
=
+∞→+∞→
. Значит, ряд
(2.4) сходится.

Страницы