Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

...a...aa
n21
++++ (2.7)
и ...b....bb
n21
++++ , (2.8)
0a
n
> и 0b
n
> при любом
n
.
Теорема 2.2 (первый признак сравнения). Пусть даны ряды с
положительными членами (2.7) и (2.8), при любом
n
nn
ba ≥ . Тогда:
1) если ряд (2.7) сходится, то и ряд (2.8) сходится;
2) если ряд (2.8) расходится, то и ряд (2.7) расходится.
Доказательство. 1. Обозначим частичные суммы рядов (2.7) и (2.8) через
n
S и
n
S
~
соответственно. Так как при любом
n
nn
ba ≥ , то
nn
S
~
S ≥ .
Если ряд (2.7) сходится, то по определению существует SSlim
n
n
=
+∞→
. Ряд
(2.7) – с положительными членами, следовательно, последовательность
(
)
n
S
возрастает и SS
n
≤ . Поэтому SSS
~
nn
≤≤ , т.е. последовательность
(
)
n
S
~
является ограниченной. Так как
(
)
n
S
~
возрастающая и ограниченная
последовательность, то существует предел. Очевидно, что
SS
~
≤
.
2. Ряд (2.8) – ряд с положительными членами, значит,
последовательность его частичных сумм
(
)
n
S
~
будет возрастающей. Учитывая, что ряд (2.8)
расходится, получаем ∞=
+∞→
n
n
S
~
lim . Но
nn
S
~
S ≥ (так как
nn
ba ≥ ),
значит, ∞=
+∞→
n
n
Slim . Тогда по определению ряд (2.7) расходится. ■
Замечание. Заключение теоремы 2.2. будет верным и в случае, когда
условие
nn
ba ≥ выполняется лишь начиная с некоторого номера
1
n
>
.
Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд
...
1n
n
...
28
3
9
2
2
1
3
+
+
++++ . (2.9)
S
~
S
~
lim
n
n
=
+∞→

Страницы