Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

значит, по второму признаку сравнения ряды (2.12) и
∑
∞
=1n
5
n
1
сходятся и
расходятся одновременно. Ряд (2.12) сходится.
Ответ: сходится.
2.1.4. Признак Даламбера
Теорема 2.4. Пусть дан ряд с положительными членами
...a...aa
n21
++++ , (2.7)
l=
+
+∞→
n
1n
n
a
a
lim . Тогда: 1) если
10
<
≤
l
, то ряд (2.7) сходится;
2) если
1
>
l
, то ряд (2.7) расходится.
Доказательство. 1. Пусть
10
<
≤
l
. Зафиксируем произвольное число
q
, для которого 1q
<
<
l . Так как q
a
a
lim
n
1n
n
<=
+
+∞→
l , то начиная с
некоторого номера
N
, будет выполняться q
a
a
n
1n
<
+
. Тогда для всех
n1n
qaaNn <≥
+
.
Получим при
N1N
qaaNn <=
+
,
при
N
2
1N2N
aqqaa1Nn <<+=
++
,
при
N
3
1N3N
aqqaa2Nn <<+=
++
,….
Рассмотрим ряд
...aqqaa
N
2
NN
+++ . (2.13)
Это геометрическая прогрессия со знаменателем 1q
<
, значит, ряд (2.13)
сходится. Но тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд
...a...aa
n2N1N
++++
++
, который получается из ряда (2.7) путём
отбрасывания первых
N
слагаемых. Следовательно, по третьему свойству
числовых рядов ряд (2.7) сходится.

Страницы