Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

2. Пусть
1
>
l
. Тогда начиная с некоторого номера
N
, будет
выполняться 1
a
a
n
1n
>
+
, так как 1
a
a
lim
n
1n
n
>=
+
+∞→
l . Получили, что при
всех
Nn
≥
1nn
aa
+
< , последовательность
(
)
n
a является возрастающей,
значит, 0alim
n
n
≠
+∞→
. Не выполняется необходимое условие сходимости
ряда, ряд (2.7) расходится. ■
Замечание. Если
1
=
l
, то данная теорема не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда, нужно применять другие признаки для исследования.
Пример 2.9. Исследовать на сходимость ряд
(
)
( )
...
3n4...51
1n3...52
...
51
52
1
2
+
−⋅⋅⋅
−
⋅
⋅
⋅
++
⋅
⋅
+
.
Решение. Общий член ряда
(
)
( )
3n4...51
1n3...52
a
n
−⋅⋅⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
, чтобы записать
1n
a
+
, в выражение для
n
a вместо
n
поставим
1
n
+
, получим
(
)
(
)
( )( )
1n43n4...51
2n31n3...52
a
1n
+−⋅⋅⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
=
+
. Вычислим предел
(
)
(
)
( )( )
(
)
( )
=
−⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
⋅
+−⋅⋅⋅
+−⋅⋅⋅
=
+∞→
+
+∞→
1n3...52
3n4...51
1n43n4...51
2n31n3...52
lim
a
a
lim
n
n
1n
n
1
4
3
3
n
4
2n3
lim
n
<=
−
+
=
+∞→
.
По признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: сходится.
Пример 2.10. Исследовать ряд
(
)
∑
+
∞
=1n
n
!n
1n2
на сходимость.
Решение. Применим для исследования признак Даламбера:
(
)
!n
1n2
a
n
n
+
=
,
(
)
( )
!1n
3n2
a
1n
1n
+
+
=
+
+
,

Страницы