Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Общий член ряда
n
2
n
1nn
1n
a
+−
+
= . Вычисляя предел,
получаем
0
1nn
1n
lim
1nn
1n
limalim
2
n
n
n
2
n
n
n
n
=
+−
+
=
+−
+
=
+∞→+∞→+∞→
.
Так как
10
<
=
l
, то по радикальному признаку Коши ряд сходится.
Ответ: сходится.
Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд
...
1
n
2
1
arctg...
5
1
arctg
3
1
arctg
n2
+
+
+++ .
Решение. Учитывая, что при
+∞
→
n
величина
1
n
2
1
+
является
бесконечно малой и
1
n
2
1
~
1
n
2
1
arctg
++
, имеем
=
+
=
+
=
+∞→+∞→+∞→
1n2
1
arctglim
1n2
1
arctglimalim
n
n
n
n
n
n
n
10
1
n
2
1
lim
n
<=
+
=
+∞→
.
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Ответ: сходится.
2.1.6. Интегральный признак Коши
Теорема 2.6. Пусть дан ряд с положительными членами (2.7),
...a...aa
n21
≥≥≥≥ , функция
(
)
xf определена, не возрастает и
непрерывна на полуинтервале
[
)
+∞;1 , причем
(
)
1
a1f = ,
(
)
2
a2f = ,…,
(
)
n
anf = ,…. Тогда несобственный интеграл первого рода
()
∫
+∞
1
dxxf и ряд
(2.7) сходятся и расходятся одновременно.

Страницы