Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Так как
()
∫
+∞
1
dxxf и
()
∫
+∞
a
dxxf сходятся и расходятся
одновременно,
1a
>
, то, решая задачи на сходимость, можно вычислить
()
∫
+∞
a
dxxf .
Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд
∑
+∞
=2n
n
ln
n
1
.
Решение. По виду общего члена ряда
n
ln
n
1
a
n
= составляем функцию
()
x
ln
x
1
xf = . Для исследования ряда применим интегральный признак
Коши. Функция
(
)
xf непрерывна и принимает только положительные
значения на промежутке
[
)
+∞;2 . Покажем, что
(
)
xf монотонно убывает на
[
)
+∞;2 . Пусть
21
xx2 << . Тогда
21
xlnxln < и
2211
xlnxxlnx < , откуда
( ) ( )
2
2211
1
xf
xlnx
1
xlnx
1
xf =>= .
Итак, функция
(
)
xf положительна, непрерывна и монотонно убывает на
полуинтервале
[
)
+∞;2 , значит, можно применить интегральный признак
сходимости. Вычислив несобственный интеграл, получим
(
)
( )
==
∫
=
∫
=
∫
+∞→+∞→+∞→
+∞
b
2
b
b
2
b
b
2
b
2
xlnlnlim
xln
xlnd
lim
xlnx
dx
lim
xlnx
dx
(
)
(
)
(
)
+∞=−=
+∞→
2lnlnblnlnlim
b
.
Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный ряд тоже
расходится.
Ответ: расходится.
2.1.7. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница
Определение 2.5. Числовой ряд

Страницы