Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(
)
...a1...aaa
n
1n
321
+−+−+−
+
, (2.14)
где 0a
n
> при любом
n
, называется знакочередующимся.
Теорема 2.7 (теорема Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (2.14)
удовлетворяет условиям:
1) последовательность
(
)
n
a является убывающей, т.е.
...a...aa
n21
>>>> ;
2) 0alim
n
n
=
+∞→
. Тогда ряд (2.14) является сходящимся.
Доказательство. Рассмотрим четную
k
2
– частичную сумму
(
)
(
)
(
)
k21k24321k2
aa...aaaaS −++−+−=
−
. Так как
последовательность
(
)
n
a убывающая, то каждая скобка в
k2
S больше нуля,
0S
k2
> и
k2
S возрастает с возрастанием
k
. С другой стороны,
(
)
(
)
(
)
k21k22k254321k2
aaa...aaaaaS −−−−−−−−=
−−
,
значит,
1k2
aS < . Последовательность
(
)
k2
S является монотонно
возрастающей и ограниченной. По свойствам предела последовательности
существует ∈=
+∞→
SSlim
k2
k
R.
Рассмотрим нечетную
1
k
2
+
– частичную сумму
1k2k21k21k2
aSS:S
+++
+= . Перейдя к пределу в равенстве, получим
SSlimalimSlimSlim
k2
k
1k2
k
k2
k
1k2
k
==+=
+∞→
+
+∞→+∞→
+
+∞→
,
потому что по условию 0alim
1k2
k
=
+
+∞→
. Итак,
SSlimSlim
1k2
k
k2
k
==
+
+∞→+∞→
, значит, ряд (2.14) сходится. ■
Замечание. Сумма
S
знакочередующегося ряда (2.14) положительна и
не превосходит
1
a . К тому же можно показать, что
1nn
aSS
+
≤− при
любом
n
.
Пример 2.14. Исследовать на сходимость ряд

Страницы