Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

при 1x > ряд расходится. Если
1
x
=
ряд
...1...11
+
+
+
+
расходится,
так как 011limalim
n
n
n
≠==
+∞→+∞→
, и ряд
(
)
...1...11
1n
+−++−
+
при
1
x
−
=
, аналогично, расходится.
Пример 2.18. Найти область сходимости ряда
...
xn
1
...
x2
1
x1
1
222
+
+
++
+
+
+
. (2.23)
Решение. Общий член ряда
()
2
n
xn
1
xu
+
= стремится к нулю при
+∞
→
n
, величина
2
x
постоянна и не влияет на это стремление. Поэтому
сравним ряд (2.23) с рядом
∑
∞
=1n
n
1
. Имеем
( )
∞+∈=
+
=
+
+∞→+∞→
;01
xn
n
lim
n
1
xn
1
lim
2
n
2
n
,
по второй теореме сравнения ряды сходятся и расходятся одновременно. Ряд
∑
∞
=1n
n
1
расходится, следовательно, ряд (2.23) расходится при любом
x
.
Область сходимости ряда – пустое множество.
Ответ:
∅
.
Пример 2.19. Найти область сходимости ряда
...
!n
x
...
2
x
x ++++ .
Решение. Зафиксируем произвольное
0x
>
и для числового ряда
применим признак Даламбера. Учитывая, что
!n
x
a
n
= ,
( )
!1n
x
a
1n
+
=
+
и
( )
10
1n
1
lim
x
!n
!1n
x
lim
a
a
lim
nn
n
1n
n
<=
+
=
⋅
+
=
+∞→+∞→
+
+∞→
,

Страницы