ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
исходный ряд сходится при любом
0x
>
. При
0x
<
получим ряд с
отрицательными членами, который, аналогично, будет сходиться. При
0x
=
сумма исходного ряда равна нулю. Вывод: область сходимости
функционального ряда – все действительные числа.
Ответ: R.
Пример 2.20. Найти область сходимости ряда
( ) ( )
...
1xn
1
...
1x4
1
1x
1
n
2
2
+
+
++
+
+
+
.
Решение. Зафиксируем произвольное
0x
>
и применим для
исследования ряда радикальный признак Коши. Так как 1nlim
n
n
=
+∞→
, то
( )
l=
+
=
+
=
+
=
+∞→+∞→+∞→
1x
1
1xn
1
lim
1xn
1
limalim
2
n
n
n
n
2
n
n
n
n
.
Под знаком предела записан
n
a в связи с тем, что радикальный
признак Коши применим только к рядам с положительными членами.
Поставив модуль, мы исследуем ряд на абсолютную сходимость, а
следовательно, и просто на сходимость. По признаку Коши
при
( ) ( )( )
+∞∪−∞−∈<
+
= ;02;x1
1x
1
l ряд сходится,
при
( ) ( )( )
0;11;2x1
1x
1
−∪−−∈>
+
=l ряд расходится.
Если 1
1x
1
=
+
=l , или
2
x
−
=
, или
0x
=
, то будем исследовать ряд
непосредственной подстановкой
x
.
При
0x
=
получим ряд
∑
∞
=1n
2
n
1
, он сходится как обобщенный
гармонический,
12
>
=
α
. При
2
x
−
=
получим ряд
(
)
∑
−
∞
=1n
2
n
n
1
, так как
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
