Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Определение 2.12. Сходящийся числовой ряд (2.24) из теоремы 2.8,
удовлетворяющий условию
(
)
nn
axu ≤ при любом
n
и любом
[
]
b;ax ∈ , называется мажорантным для функционального ряда (2.21).
Пример 2.21. Доказать равномерную сходимость функционального ряда
∑
⋅
∞
=1n
n
n
5n
x
на сегменте [0;1].
Доказательство. Используем теорему Вейерштрасса. При любом
[
]
1;0x ∈
1x
n
≤
,
()
nn
n
n
5n
1
5n
x
xu
⋅
≤
⋅
=
.
Исследуем ряд
∑
⋅
∞
=1n
n
n
5n
x
(2.25)
с положительными членами на сходимость. Так как
( )
( )
,1
5
1
51n
n
lim
5n
1
:
51n
1
lim
a
a
lim
n
n1n
n
n
1n
n
<=
⋅+
=
⋅⋅+
=
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
то по признаку Даламбера ряд (2.25) сходится, а также он является
мажорантным рядом для функционального ряда. Тогда функциональный ряд
сходится равномерно на [0;1]. ■
2.2.3. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости
Определение 2.13. Функциональный ряд вида
(
)
(
)
(
)
...xxa...xxaxxaa
n
0n
2
02010
+−++−+−+ , (2.26)
где ,...a,...,a,a,a,x
n2100
– заданные числа, называется степенным рядом.
Числа ,...a,...,a,a,a
n210
называются коэффициентами ряда.
При 0x
0
= получим степенной ряд
...xa...xaa
n
n10
++++ . (2.27)
Теорема 2.9 (Абеля)

Страницы