Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Из теоремы Абеля следует, что интервалом сходимости степенного ряда
(2.27) является интервал с центром в начале координат
(
)
R;R− такой, что в
каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне
отрезка
[
]
R;R− , ряд расходится. В точках
R
x
±
=
ряд может сходиться и
может расходиться.
Определение 2.14. Число
R
называется радиусом сходимости
степенного ряда (2.27).
Алгоритм нахождения области сходимости
степенного ряда (2.27)
1. Применяем признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Находим
cx
a
a
limx
xa
xa
lim
n
1n
n
n
n
1n
1n
n
⋅=⋅=
⋅
⋅
+
+∞→
+
+
+∞→
или
xcalimxxalim
n
n
n
n
n
n
n
⋅=⋅=⋅
+∞→+∞→
.
При 1xc <⋅ ряд сходится, при 1xc >⋅ ряд (2.27) расходится. Интервал
сходимости ряда (2.27) –
−
c
1
;
c
1
.
2. Исследуем ряд при
c
1
x ±= . Для рядов
∑
∞
=1n
n
n
c
a
и
(
)
∑
−
∞
=1n
n
n
n
c
a1
используем признаки сходимости.
Пример 2.22. Найти область сходимости ряда
( )
∑
+
∞
=1n
n
n
41n2
x
.
Решение. 1. Используем признак Даламбера. Так как
( )
n
n
41n2
1
a
+
= ,
( )
1n
1n
43n2
1
a
+
+
+
= , то
(
)
( )
4
x
x
43n2
41n2
lim
xa
xa
lim
1n
n
n
n
n
1n
1n
n
=⋅
+
+
=
+
+∞→
+
+
+∞→
.

Страницы