Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
...2xn...2x22x
n2
+−++−+− .
Решение. Имеем обобщенный степенной ряд вида (2.26) с 2x
0
= . Для
отыскания радиуса сходимости используем формулу
n
n
n
a
1
limR
+∞→
= ,
получим 0
n
1
lim
a
1
limR
n
n
n
n
===
+∞→+∞→
. Тогда интервал сходимости
(
)
Rx;Rx
00
+− выражается в точку 2x
0
= .
Ответ: область сходимости – число 2.
2.2.4.
*
Непрерывность суммы, дифференцирование
и интегрирование функционального ряда
Для функциональных рядов, равномерно сходящихся на сегменте
[
]
b;a ,
имеют место следующие теоремы.
Теорема 2.10 (о непрерывности суммы ряда). Если функциональный ряд
(
)
(
)
(
)
...xu...xuxu
n21
++++ (2.21)
сходится равномерно на сегменте
[
]
b;a к сумме
(
)
xS , при любом
n
функции
(
)
∈n,xu
n
N, непрерывны на
[
]
b;a , то сумма
(
)
xS непрерывна
на
[
]
b;a .
Теорема 2.11 (об интегрировании ряда). Пусть функциональный ряд
(2.21) сходится равномерно на
[
]
b;a к сумме
(
)
xS , при любом
n
функции
(
)
xu
n
непрерывны на
[
]
b;a . Тогда функциональный ряд
()
∑
∫
∞
=
α
1n
x
n
dttu
сходится равномерно на
[
]
b;a ,
[
]
b;ax, ∈α , причем
() () ()
∫
=
∫
∑
=
∑
∫
αα
∞
=
∞
=
α
xx
1n
n
1n
x
n
dttSdttudttu .
Теорема 2.12 (о дифференцировании ряда). Если функциональный ряд
(2.21) сходится на сегменте
[
]
b;a к сумме
(
)
xS , при любом
n
функция
(
)
xu
n
непрерывно дифференцируема на
[
]
b;a (
(
)
xu
n
′
непрерывна на

Страницы