Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

()
( ) ( )
( )
×−=
∫
−
+
+
+
−
=
∫
−
=
4
1
dx
x12
1
x14
1
x14
1
x1
dx
xS
x
0
2
x
0
4
arctgx
2
1
x1
x1
ln
4
1
arctgx
2
1
x1ln
4
1
x1ln +
−
+
=+++−× .
Ответ: arctgx
2
1
x1
x1
ln
4
1
+
−
+
.
Пример 2.25. Найти сумму ряда
...x3n...x321
1n1n
+++⋅+
−−
. (2.31)
Решение. Найдем интервал сходимости степенного ряда (2.31):
1n
n
3na
−
= ,
(
)
n
1n
31na +=
+
,
( )
3
1
31n
3n
lim
a
a
limR
n
1n
n
1n
n
n
=
+
==
−
+∞→
+
+∞→
,
значит, ряд (2.31) сходится на интервале
−
3
1
;
3
1
. Так как
(
)
1n1n
n
x3nxu
−−
= , то
()
n1n
x
0
n1n
x
0
1n1n
x
0
n
x3t3dtt3ndttu
−−−−
==
∫
=
∫
.
Составим ряд из первообразных для
(
)
xu
n
...x3...x3x
n1n2
++++
−
. (2.32)
Ряд (2.32) является геометрической прогрессией со знаменателем
x3
, его
сумма равна
x
3
1
x
−
при 1x3 < . Обозначим сумму ряда (2.31) через
(
)
xS .
По теореме 2.11
() ()
∑
∫ ∫
==
∑
∞
=
∞
=
−
1n
x
0
x
0
n
1n
n1n
dttSdttux3 .
Получили
()
x31
x
dttS
x
0
−
∫
= . Тогда

Страницы