Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

()
( ) ( )
22
x31
1
x31
x3x31
x31
x
xS
−
=
−
+−
=
′
−
= .
Ответ:
( )
2
x31
1
−
.
2.2.5. Ряд Тейлора.
Разложение в ряд Тейлора элементарных функций
Пусть функция
(
)
xf определена и имеет непрерывные производные
любого порядка в некоторой окрестности точки
0
x .
Определение 2.15. Степенной ряд
( )
(
)
( )
(
)
( )
++−
′
′
+−
′
+ ...xx
!2
xf
xx
!1
xf
xf
2
0
0
0
0
0
(
)
( )
...xx
!n
xf
n
0
0
n
+−+
(2.33)
называется рядом Тейлора для функции
(
)
xf в окрестности точки
0
x .
Ряд Тейлора (2.33) не всегда сходится к функции
(
)
xf . В общем виде
пишут
()
(
)
(
)
( )
n
0
0n
0
n
xx
!n
xf
~xf −
∑
∞
=
(функция
(
)
xf разложена в ряд Тейлора). На необходимое и достаточное
условие сходимости ряда Тейлора к функции
(
)
xf указывает следующая
теорема.
Теорема 2.13. Ряд Тейлора (2.33) сходится к функции
(
)
xf в некоторой
окрестности точки
0
x тогда и только тогда, когда
(
)
0xrlim
n
n
=
+∞→
для
любого
x
из этой окрестности, где остаточный член из формулы Тейлора
()
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
1;0,xx
!1n
xxxf
xr
1n
0
00
1n
n
∈θ−
+
−θ+
=
+
+
.
Пример 2.26. Разложить функцию
(
)
1x3x2xxf
234
−+−=

Страницы