Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

в ряд по степеням
(
)
1x − .
Решение. Разложить по степеням
(
)
1x − – это разложить в окрестности
точки 1x
0
= . Функция
(
)
xf является многочленом, а следовательно, имеет
непрерывные производные любого порядка при любом действительном
значении
x
. Вычислим производные:
(
)
(
)
41f,x6x6x4xf
23
=
′
+−=
′
,
(
)
(
)
61f,6x12x12xf
2
=
′′
+−=
′′
,
(
)
,12x24xf −=
′
′
′
(
)
121f =
′
′
′
,
(
)
(
)
24xf
IV
= ,
(
)
(
)
241f
IV
= ,
(
)
(
)
0xf
V
= ,
…
Подставляя производные в ряд Тейлора, имеем
() ( ) ( ) ( )
+−+−+−+
32
1x
!3
12
1x
!2
6
1x41~xf
( ) ( )
=+−+−+ ...1x
!5
0
1x
!4
24
54
(
)
(
)
(
)
(
)
432
1x1x21x31x41 −+−+−+−+= .
Ответ:
(
)
(
)
(
)
(
)
432
1x1x21x31x41 −+−+−+−+ .
Определение 2.16. Ряд Тейлора (2.33) при 0x
0
= называется рядом
Маклорена и имеет вид
()
(
)
(
)
(
)
...x
!n
0f
...x
!1
0f
0f
n
n
+++
′
+
.
Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных
функций:
( )
...
!1n
x
...
!2
x
!1
x
1e
1n2
x
+
−
++++=
−
при
(
)
+∞∞−∈ ;x ,
(
)
( )
...
!1n2
x1
...
!3
x
!1
x
xsin
1n2
1n
3
+
−
−
++−=
−
−
при
(
)
+∞∞−∈ ;x ,

Страницы