ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
[
]
b;a , ряд
()
∑
′
∞
=2n
n
xu сходится равномерно на
[
]
b;a , то
() () ()
xSxuxu
2n
n
2n
n
′
=
′
∑∑
=
′
∞
=
∞
=
.
Замечание. Так как степенной ряд на интервале сходимости является
равномерно сходящимся, то теоремы 2.11-2.12 формулируются более просто:
на интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать и
дифференцировать, при этом радиус сходимости не меняется.
Теоремы 2.11-2.12 расширяют класс рядов, для которых мы можем найти
сумму ряда.
Пример 2.24. Найти сумму ряда
...
3
n
4
x
...
5
x
x
3n45
+
−
+++
−
. (2.29)
Решение. Общий член ряда (2.29)
()
3
n
4
x
xu
3n4
n
−
=
−
. Составляя ряд из
производных
(
)
3n4
n
xxu
−
=
′
членов ряда (2.29), получаем
...x...xx1
4n484
+++++
−
. (2.30)
Ряд (2.30) является суммой бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем
4
x
, он сходится при 1x < , причем
4
1n
4n4
x1
1
x
−
=
∑
∞
=
−
.
Для степенного ряда (2.29) найдем радиус сходимости
1
1
n
4
1
3n4
1
lim
a
a
limR
n
1n
n
n
=
+
−
==
+∞→
+
+∞→
,
значит, ряд (2.29) сходится на интервале
(
)
1;1− . Через
(
)
xS обозначим
сумму ряда (2.29). По теореме 2.12 на интервале сходимости
(
)
1;1−
() () ()
xSxuxux
1n
n
1n
n
1n
4n4
′
=
′
∑
=
∑
=
′
=
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
.
Получили
()
4
x1
1
xS
−
=
′
. Тогда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
