Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

При 1
4
x
< или
(
)
4;4x −∈ исходный ряд сходится и
(
)
4;4− – его
интервал сходимости.
2. Исследуем сходимость ряда в точках
4
x
±
=
. При
4
x
=
имеем ряд
( )
∑
+
=
∑
+
∞
=
∞
= 1n1n
n
n
1n2
1
41n2
4
. Учитывая, что ряд
∑
∞
=1n
n
1
расходится и
( )
+∞∈=
+
+∞→
;02
1
n
2
1
n
1
lim
n
, ряд
∑
+
∞
=1n
1
n
2
1
расходится по второму
признаку сравнения.
При
4
x
−
=
получим ряд
(
)
( )
(
)
∑
+
−
=
∑
+
−
∞
=
∞
= 1n
n
1n
n
n
1n2
1
41n2
4
, он является
знакочередующимся. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:
( )
...
11n2
1
1n2
1
...
5
1
3
1
>
++
>
+
>>>
и 0
1
n
2
1
lim
n
=
+
+∞→
, значит,
ряд
(
)
∑
+
−
∞
=1n
n
1
n
2
1
сходится.
Имеем область сходимости исходного степенного ряда – промежуток
[
)
4;4− .
Ответ:
[
)
4;4− .
Замечание. Радиус сходимости
R
ряда (2.27) можно сразу искать по
формулам
1n
n
n
a
a
limR
+
+∞→
=
,
n
n
n
alim
1
R
+∞→
= .
Для обобщенного степенного ряда (2.26) интервал сходимости имеет вид
(
)
Rx;Rx
00
+− , где
R
– также радиус сходимости. Ход рассуждений
при нахождении области сходимости сохраняется.
Пример 2.23. Найти область сходимости степенного ряда

Страницы