ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Если степенной ряд (2.27) сходится при некотором
1
xx = , 0x
1
≠ ,
то он абсолютно сходится при любом
x
таком, что
1
xx < .
2. Если ряд (2.27) расходится при
2
xx = , то он расходится при любом
x
, для которого
2
xx > .
Доказательство. 1. Так как числовой ряд
...xa...xaa
n
1n110
++++
сходится, то по необходимому условию сходимости ряда 0xalim
n
1n
n
=
+∞→
.
Тогда по свойству пределов существует число
M
такое, что при любом
n
Mxa
n
1n
≤
. Ряд (2.27) запишем в виде
...
x
x
xa...
x
x
xaa
n
1
n
1n
1
110
+
++
+ .
Составим ряд из абсолютных величин
...
x
x
xa...
x
x
xaa
n
1
n
1n
1
110
++++ . (2.28)
Ряд ...
x
x
M...
x
x
MM
n
11
+⋅++⋅+ является суммой геометрической
прогрессии со знаменателем
1
x
x
, он сходится при
1
xx < . Учитывая, что
для любого
n
n
1
n
1
n
1n
x
x
M
x
x
xa ⋅≤⋅ , по первому признаку сравнения
ряд (2.28) тоже сходится. Тогда ряд (2.27) сходится абсолютно.
2. Предположим противное. Пусть при некотором
3
x ,
23
xx > , ряд
(2.27) сходится. Тогда по доказанному в 1) ряд (2.27) сходится при
x
таких,
что
3
xx < . Получим противоречие с тем, что при
(
)
322
xxx < , ряд
(2.27) расходится по условию. Значит, ряд (2.27) расходится при любом
x
,
2
xx > . ■
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
