Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

ряд из модулей
∑
∞
=1n
2
n
1
сходится, то ряд
(
)
∑
−
∞
=1n
2
n
n
1
сходится абсолютно.
Итак, область сходимости –
(
]
[
)
+∞∪−∞− ;02; .
Ответ:
(
]
[
)
∞+∪−∞− ;02; .
2.2.2.
*
Равномерная сходимость функционального ряда
На области сходимости функциональный ряд сходится к своей сумме, но
для того, чтобы выполнять различные действия над рядом, устанавливать
свойства суммы ряда, часто требуются более жесткие условия, чем просто
сходимость. Одно из этих условий – равномерная сходимость
функционального ряда.
Определение 2.11. Функциональный ряд (2.21) называется равномерно
сходящимся на сегменте [a,b], если для любого сколь угодно малого 0
>
ξ
существует номер
N
такой, что при всех
Nn
≥
и любого
[
]
b,ax ∈ будет
выполняться неравенство
(
)
(
)
ξ<− xSxS
n
.
Замечание. Важным условием в определении является фиксирование
одного номера
N
и для
Nn
≥
, и для
[
]
b,ax ∈ .
Геометрически равномерная
сходимость означает, что
какая бы ни была полоса
шириной
ξ
2 (с центром –
кривой
(
)
xSy = ), начиная
с номера
N
, все кривые
(
)
xSy
n
= будут лежать
внутри этой полосы (рис.
2.1).
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 2.8 (Вейерштрасса). Пусть дан функциональный ряд (2.21) и
сходящийся числовой ряд
...a...aa
n21
++++ (2.24)
с положительными членами, причем для любого
∈
n
N и любого
[
]
b;ax ∈
выполняется
(
)
nn
axu ≤ . Тогда ряд (2.21) является равномерно
сходящимся на
[
]
b;a .

Страницы