Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 10 стр.

   Сравнивая результаты регуляризации функции f ( x ) со степен-
ной особенностью, проведенной по формуле (1.1.4) при n = 1 , и ре-
зультаты непосредственного вычисления интеграла Адамара по фор-
муле (1.1.2), легко убедиться, что они отличаются на константу.
   Теорема 1.1.1 [17]. Если f0 – частное решение проблемы регуля-
ризации интеграла (1.1.3), то общее решение f получается прибав-
лением к f 0 любого функционала, сосредоточенного в точке x0 .
   Вопрос о выборе среди многочисленных регуляризаций данной
функции естественной ее регуляризации обсуждается в первой главе
монографии [17]. Мы не останавливаемся на этом вопросе, посколь-
ку на протяжении всей работы рассматриваются только интегралы
Адамара.
   По этой же причине здесь не обсуждается вопрос о регуляризации
функций со степенными особенностями аналитическим продолжени-
ем по параметру. Эта регуляризация подробно исследована в [17].
   В работе [35] предложен интересный подход к регуляризации ин-
тегралов на бесконечных интервалах интегрирования. Рассмотрим
интеграл
                                 ∞
                           Aϕ = ∫ ϕ ( τ ) τλ−2 d τ,
                                 0
                                                      −μ
                                   ⎛ ϕ ( τ) ⎞
где 1 < λ < 2, а функция ϕ ( τ ) = ⎜ 1 − 1   ⎟             , ϕ1 ( τ ) – ограниченная
                                   ⎝       τ ⎠
функция, μ > 0 .
   Очевидно, что интеграл Aϕ не существует в смысле Римана и не-
обходимо проведение регуляризации.
   Регуляризация интеграла Aϕ проводится следующим образом.
Вначале доказывается, что интеграл
                                  ∞
                                         μ
                                     ∫τ      dτ = 0                          (1.1.5)
                                     0




                                         11