Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

12
при любом μ . В самом деле
00
.
a
a
ddd
∞
∞
μμμ
τ
τ= τ τ+ τ τ
∫
∫∫
(1.1.6)
При условии Re 1μ>− первый интеграл существует и равен
1
1
e
μ+
μ+
Полученная функция является аналитической во всей комплексной
плоскости, исключая точку 1
μ
=− . Второй интеграл существует при
условии Re 1μ<− и равен
1
1
e
μ
+
−
μ
+
. Он также является аналитической
функцией во всей комплексной плоскости за исключением точки
1μ=− . Продолжая интегралы из правой части формулы (1.1.6) на
всю комплексную плоскость, доказываем (1.1.5). Тогда регуляриза-
ция осуществляется формулой
() ()
()
22
00
1.dd
∞∞
λ− λ−
ϕτττ=ϕτ−ττ
∫∫
Нетрудно видеть, что последний интеграл существует. Аналогич-
ным образом осуществляется переход к большим значениям
λ.
В работе Л. А. Чикина [42] дано определение интеграла типа
Коши–Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного
значения Коши и интеграла Адамара.
Определение 1.1.4.
[42]. Интегралом
()
()
,,
b
p
a
d
acb
c
ϕτ τ
<
<
τ−
∫
в смысле главного значения Коши–Адамара будем называть сле-
дующий предел: 
при любом μ . В самом деле
                               ∞            a            ∞

                               ∫   τμ d τ = τμ d τ + τμ d τ.
                                            ∫            ∫                     (1.1.6)
                               0            0            a

                                                             eμ+1
  При условии Re μ > −1 первый интеграл существует и равен
                                                             μ +1
Полученная функция является аналитической во всей комплексной
плоскости, исключая точку μ = −1 . Второй интеграл существует при
                          −eμ+1
условии Re μ < −1 и равен       . Он также является аналитической
                          μ +1
функцией во всей комплексной плоскости за исключением точки
μ = −1 . Продолжая интегралы из правой части формулы (1.1.6) на
всю комплексную плоскость, доказываем (1.1.5). Тогда регуляриза-
ция осуществляется формулой
                ∞                           ∞
                     ϕ ( τ ) τλ− 2 d τ =    ∫ ( ϕ ( τ ) − 1) τ
                                                                 λ− 2
                 ∫                                                      d τ.
                 0                          0

   Нетрудно видеть, что последний интеграл существует. Аналогич-
ным образом осуществляется переход к большим значениям λ.
   В работе Л. А. Чикина [42] дано определение интеграла типа
Коши–Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного
значения Коши и интеграла Адамара.
   Определение 1.1.4. [42]. Интегралом
                           b
                               ϕ ( τ) d τ
                           ∫ (τ − c) p ,         a < c < b,
                           a

в смысле главного значения Коши–Адамара будем называть сле-
дующий предел:




                                            12

Страницы