Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

13
()
()
()
()
()
()
()
()
1
0
lim ,
bcb
pppp
aac
ddd
cccc
−ν
−
ν→
+ν
⎡⎤
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ ξν
⎢⎥
=++
⎢⎥
τ− τ− τ− τ−
⎣⎦
∫∫∫
где
()
ξν – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный пре-
дел существовал.
1.2. Построение оптимальной квадратурной
формулы
В 1958 г/ вышла книга С. М. Никольского «Квадратурные форму-
лы», которая привлекла внимание математиков к построению опти-
мальных квадратурных формул. Различные подходы к построению
оптимальных квадратурных формул предложены Н. С. Бахваловым [2],
В. И. Крыловым [23], С. М. Никольским [34], С. Л. Соболевым [40].
Оптимальные весовые кубатурные формулы исследованы В. И. По-
ловинкиным [35–39]. Оптимальные и
асимптотически оптималь-
ные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов построены
И. В. Бойковым [4–8].
Формулировка задачи построения оптимальных квадратурных
формул принадлежит А. Н. Колмогорову и в применении к интегра-
лам Адамара заключается в следующем. Рассмотрим интеграл
()
()
, целое,
b
p
a
d
Ap
t
ϕτ τ
ϕ= −
τ−
∫
(1.2.1)
который будем вычислять по квадратурной формуле
()
()
()
1
,, ,
N
kk N kk
k
AsptRtsp
=
ϕ= ϕ + ϕ
∑
(1.2.2)
с узлами
k
s
и весами
(
)
(
)
1, 2, ,
k
p
tk N= K .
Под погрешностью квадратурной формулы (1.2.2) будем пони-
мать величину
(
)
(
)
(
)
,, max ,, ,
Nkk N kk
t
Rsp Rtspt
ϕ
=ϕ. 
        b
            ϕ ( τ) d τ     ⎡ c −ν ϕ ( τ ) d τ     b
                                                     ϕ ( τ) d τ        ξ (ν ) ⎤
        ∫ ( τ − c )
                     = lim ⎢
                    p ν→0 ⎢       ∫
                                  ( τ − c ) p
                                              +
                                                     ( τ
                                                        ∫− c ) p
                                                                 +
                                                                   ( τ − c )
                                                                                  ⎥,
                                                                             p −1 ⎥
        a                  ⎣ a                  c +ν                              ⎦
где ξ ( ν ) – некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный пре-
дел существовал.
    1.2. Построение оптимальной квадратурной
                     формулы
   В 1958 г/ вышла книга С. М. Никольского «Квадратурные форму-
лы», которая привлекла внимание математиков к построению опти-
мальных квадратурных формул. Различные подходы к построению
оптимальных квадратурных формул предложены Н. С. Бахваловым [2],
В. И. Крыловым [23], С. М. Никольским [34], С. Л. Соболевым [40].
Оптимальные весовые кубатурные формулы исследованы В. И. По-
ловинкиным [35–39]. Оптимальные и асимптотически оптималь-
ные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов построены
И. В. Бойковым [4–8].
   Формулировка задачи построения оптимальных квадратурных
формул принадлежит А. Н. Колмогорову и в применении к интегра-
лам Адамара заключается в следующем. Рассмотрим интеграл
                                                b
                                                    ϕ( τ) d τ
                                       Aϕ =     ∫ (τ − t ) p ,   p − целое,            (1.2.1)
                                                a

который будем вычислять по квадратурной формуле
                                N
                         Aϕ =   ∑ ϕ ( sk ) pk ( t ) + RN ( t , sk , pk , ϕ)            (1.2.2)
                                k =1

с узлами sk и весами pk ( t ) ( k = 1, 2,K , N ) .
   Под погрешностью квадратурной формулы (1.2.2) будем пони-
мать величину
                    RN ( sk , pk , ϕ ) = max RN ( t , sk , pk ( t ) , ϕ ) .
                                            t



                                                13

Страницы