Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
Постановку задачи в случае многомерных интегралов опишем на
примере двойного интеграла следующего вида:
()
()( )
12
12
12
12
12
11 2 2
,
.
bb
pp
aa
Idd
tt
ϕτ τ
ϕ= τ τ
τ− τ −
∫∫
(1.2.3)
Для вычисления этого интеграла будем использовать кубатурные
формулы вида
()
() ( )
12 12
11
,, ,,,;,,
mn
kl kl mn klkl
kl
IpttxyRttxyp
==
ϕ= ϕ + ϕ
∑∑
(1.2.4)
определяемые вектором
(
)
112 1
,: ,
m
x
ya x x x b≤<<< ≤K
212 2n
ayy yb≤< << ≤K и коэффициентами
(
)
1,1.
kl
p
km ln≤≤ ≤≤
Под погрешностью кубатурной формулы (1.2.4) будем понимать
величину
(
)
(
)
12
12
,
,; , sup ,; ,; , .
mn k l kl mn k l kl
tt
R x yp R ttx yp
ϕ
=ϕ
Если
Μ
– некоторый класс заданных на прямоугольнике
[]
11 2 2
,; ,aba b функций, то, положим,
()
(
)
,; , sup ,; , .
mn k l kl mn k l kl
Rxyp Rxyp
ϕ∈Μ
Μ
=ϕ
Через
[]
mn
Μ обозначим величину
[]
()
(
)
,;
inf , ; , ,
mn mn k l kl
xyp
RxypξΜ= ϕ
в которой нижняя грань берется по всевозможным векторам
()
,;
x
yp
узлов и весов
()
1, 2, , ; 1, 2, , .kNlM==KK
Кубатурную формулу (1.2.4),
построенную на векторах
(
)
***
,;
kl kl
x
yp , будем, следуя [2], называть
оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по поряд-
ку, если 
  Постановку задачи в случае многомерных интегралов опишем на
примере двойного интеграла следующего вида:
                                b1 b2
                                                  ϕ ( τ1 , τ2 )
                         Iϕ =   ∫ ∫ (τ                 p1
                                                            ( τ2 − t2 ) p2
                                                                             d τ1d τ2 .       (1.2.3)
                                a1 a2    1 − t1 )

  Для вычисления этого интеграла будем использовать кубатурные
формулы вида
              m n
      Iϕ =   ∑∑ pkl ( t1, t2 ) ϕ ( xk , yl ) + Rmn ( t1, t2 , xk , yl ; pkl , ϕ) ,            (1.2.4)
             k =1 l =1

определяемые вектором                   ( x, y ) : a1 ≤           x1 < x2 < K < xm ≤ b1 ,
a2 ≤ y1 < y2 < K < yn ≤ b2 и коэффициентами pkl (1 ≤ k ≤ m,1 ≤ l ≤ n ) .

   Под погрешностью кубатурной формулы (1.2.4) будем понимать
величину
              Rmn ( xk , yl ; pkl , ϕ ) = sup Rmn ( t1 , t2 ; xk , yl ; pkl , ϕ ) .
                                                 t1 ,t2

    Если Μ – некоторый класс заданных                                          на     прямоугольнике
[ a1, b1; a2 , b2 ] функций, то, положим,
                Rmn ( xk , yl ; pkl , Μ ) = sup Rmn ( xk , yl ; pkl , ϕ ) .
                                                       ϕ∈Μ

   Через ξmn [ Μ ] обозначим величину

                         ξmn [ Μ ] = inf Rmn ( xk , yl ; pkl , ϕ ) ,
                                         ( x, y; p )
в которой нижняя грань берется по всевозможным векторам ( x, y; p )
узлов и весов ( k = 1,2,K, N; l = 1,2,K, M ) . Кубатурную формулу (1.2.4),
построенную на векторах                  ( x , y ; p ) , будем, следуя [2], называть
                                             *
                                             k
                                                     *
                                                     l
                                                             *
                                                             kl

оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по поряд-
ку, если

                                                       15

Страницы