Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

14
Если
Μ
− некоторый класс заданных на отрезке
[
]
,ab функций,
то, положим,
()
(
)
,, sup ,,.
Nkk Nkk
Rsp Rsp
ϕ∈Μ
Μ
=ϕ
Через
[]
N
ξ
Μ обозначим величину
[]
()
(
)
,
inf , , ,
kk
NNkk
sp
RspξΜ= Μ
в которой нижняя грань берется по всевозможным
N
узлам
k
s и ве-
сам
()
(
)
1, 2, ,
k
p
tk N= K . Квадратурную формулу (1.2.2), построен-
ную на узлах
*
k
s и весах
()( )
*
1, 2, ,
k
p
tk N= K , будем, следуя [2], на-
зывать оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по
порядку, если
()
(
)
[]
**
,,
1,
Nkk
N
RsptΜ
ξΜ
()
(
)
[]
**
,,
lim 1,
Nkk
N
N
Rspt
→∞
Μ
=
ξΜ
()
(
)
[]
**
,,
Nkk N
Rspt
∪
Μ
ξΜ
∩
соответственно. Знак
∪
∩
(слабая эквивалентность) означает, что
имеются две константы А и В
(
)
0,AB
<
<∞ , не зависящие от N и та-
кие, что
[]
(
)
[]
**
,, .
NNkk N
ARspBξΜ< Μ<ξΜ
   Если Μ − некоторый класс заданных на отрезке [ a, b ] функций,
то, положим,
                   RN ( sk , pk , Μ ) = sup RN ( sk , pk , ϕ ) .
                                              ϕ∈Μ



   Через ξ N [ Μ ] обозначим величину

                      ξ N [ Μ ] = inf RN ( sk , pk , Μ ) ,
                                      ( sk , pk )
в которой нижняя грань берется по всевозможным N узлам sk и ве-
сам pk ( t ) ( k = 1, 2,K , N ) . Квадратурную формулу (1.2.2), построен-
ную на узлах sk* и весах pk* ( t ) ( k = 1, 2,K , N ) , будем, следуя [2], на-
зывать оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по
порядку, если

                                  (
                            RN sk* , pk* ( t ) , Μ      ) = 1,
                                       ξ N [Μ ]


                         lim
                                         (
                                 RN sk* , pk* ( t ) , Μ     ) = 1,
                        N →∞                 ξ N [Μ ]


                             (
                        RN sk* , pk* ( t ) , Μ      ) ∩∪ ξ N [Μ ]
                           ∪
соответственно. Знак         (слабая эквивалентность) означает, что
                           ∩
имеются две константы А и В ( 0 < A, B < ∞ ) , не зависящие от N и та-
кие, что

                                         (              )
                   Aξ N [ Μ ] < RN sk* , pk* , Μ < Bξ N [Μ ].



                                              14

Страницы