Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 16 стр.

          1.3. Основные классы интегрируемых
                        функций
   В книге С. М. Никольского [34] отмечается, что погрешность лю-
бой квадратурной формулы на всем классе интегрируемых функций
равна бесконечности, и поэтому приходится проводить исследование
квадратурных формул на узких классах функций. В этом параграфе
описываются классы функций, на которых исследуются алгоритмы
вычисления интегралов Адамара.
   Класс W r ( M ; a, b ) состоит из функций, заданных на отрезке
[ a, b] непрерывных и имеющих непрерывные производные до
( r − 1) -го порядка включительно и кусочно-непрерывную производ-
ную r -го порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству
 f (r) ( x ) ≤ M .
   В современном анализе широко используется класс функций
Гельдера H α ( M ; a, b ) ( 0 < α ≤ 1) , состоящий из заданных на отрез-
ке [ a, b ] функций f ( x ) , удовлетворяющих во всех точках x′ и x′′
этого отрезка неравенству
                                                               α
                             f ( x′ ) − f ( x′′ ) ≤ M x′ − x′′ .

   Через     W r H α ( M ; a, b )
                               ( r = 1, 2,K;0 < α ≤ 1) обозначают класс
функций     f ( x ) , имеющих на отрезке [ a, b ] производные r -го поряд-
ка, удовлетворяющие условию

                          f ( ) ( x′ ) − f ( ) ( x′′ ) ≤ M x′ − x′′
                             r              r                       α


при любых x′, x′′ на [ a, b ] .
   Пусть на отрезке [ a, b ] задана неубывающая функция ω ( x ) , удов-
летворяющая условиям
                     ω(0) = 0, 0 < ω( x2 ) − ω( x1 ) ≤ ω ( x2 − x1 )


                                             17