Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 9 стр.

   Пусть f ( x ) – функция, локально интегрируемая всюду, кроме
точки x0 . В этой точке она имеет неинтегрируемую особенность.
Тогда интеграл в формуле (1.1.3), где ϕ ( x ) – основная функция, во-
обще говоря, расходится. Но он сходится, если ϕ ( x ) равна нулю в
окрестности точки x0 . Ставится вопрос, нельзя ли доопределить воз-
никающий при этом функционал, т. е. построить функционал f ∈ K ′ ,
который на основные функции ϕ ( x ) , равные нулю в окрестности
точки x0 , действует по формуле (1.1.3). Всякий такой функционал f
называется регуляризацией расходящегося интеграла (1.1.3) или ре-
гуляризацией функции f ( x ) .
   Остановимся на проблеме регуляризации функции со степенными
особенностями, поскольку интеграл в смысле Адамара введен для
интегрирования таких функций.
   Пусть       f ( x ) – функция со степенной особенностью в точке

      (           )
x0 = x10 ,K , xn0 , причем функция f ( x ) = r m локально интегрируема.
Здесь
                                                            1
                                  ⎡ n             2⎤ 2
                                r=⎢    ∑(
                                  ⎢⎣ k =1          ⎥⎦
                                                     )
                                          xk − xk0 ⎥ .


  Для функций такого вида в монографии [17] предлагается сле-
дующая регуляризация степенных функций
                 ⎧         ⎡           ∂ϕ( 0)             ∂mϕ( 0) xnm ⎤             ⎫⎪
( f , ϕ)= ∫ f ( x) ⎪⎨ϕ( x)− ⎢ϕ( 0) +            x1+ K +               ⎥ e (1 − r ) ⎬ dx, (1.1.4)
                 ⎪⎩        ⎢⎣           ∂ x1               ∂ xnm m! ⎥⎦             ⎪⎭
          Rn

где для простоты полагается, что особая точка x0 = 0 , функция

                                             ⎧1 при r < 1,
                                e (1 − r ) = ⎨
                                             ⎩0 при r = 1.



                                                10