Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

9
Данное Адамаром определение конечной части расходящегося
интеграла является частным случаем общего понятия регуляризации
расходящихся интегралов.
Опишем регуляризацию расходящихся интегралов, следуя [17].
Определение 1.1.2 [17].
Множество
K
всех вещественных функ-
ций
() ( )
(
)
12
,,,
n
x
xxx xϕ=K
, каждая из которых имеет непрерыв-
ные производные всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль
вне некоторой ограниченной области (своей для каждой функции
()
x
ϕ ), называется основным пространством. Сами функции
()
x
ϕ
называются основными.
Определение 1.1.3. [17].
Линейный непрерывный функционал
f
задан на основном пространстве
K , если указано правило, в силу
которого каждой основной функции
(
)
x
ϕ сопоставлено некоторое
число
()
,
f
ϕ
и при этом выполнены следующие условия:
а) для любых двух вещественных чисел
12
,
α и любых двух ос-
новных функций
()
(
)
12
,
x
xϕϕимеет место равенство
()
(
)
(
)
11 2 2 1 1 2 2
,,,;fffαϕ +α ϕ =α ϕ +α ϕ
б) если последовательность основных функций
1
,,
n
ϕ
ϕKK стре-
мится к нулю в пространстве
K
, то последовательность чисел
()
(
)
1
,,,, ,
n
ffϕϕKK сходится к нулю.
Если
(
)
f
x локально интегрируемая в
n
R
, то с ее помощью можно
каждой основной функции
(
)
x
ϕ поставить в соответствие число
() ()
,().
n
R
f
fx xdxϕ= ϕ
∫
(1.1.3)
Легко видеть, что выражение (1.1.3) является линейным функцио-
налом. Известно, что не все линейные функционалы представимы в
виде (1.1.3). Линейные функционалы, представимые в виде (1.1.3),
называются регулярными, все остальные – сингулярными. 
   Данное Адамаром определение конечной части расходящегося
интеграла является частным случаем общего понятия регуляризации
расходящихся интегралов.
   Опишем регуляризацию расходящихся интегралов, следуя [17].
   Определение 1.1.2 [17]. Множество K всех вещественных функ-
ций ϕ ( x ) ( x = ( x1 , x2 ,K , xn ) ) , каждая из которых имеет непрерыв-
ные производные всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль
вне некоторой ограниченной области (своей для каждой функции
ϕ ( x ) ), называется основным пространством. Сами функции ϕ ( x )
называются основными.
    Определение 1.1.3. [17]. Линейный непрерывный функционал f
задан на основном пространстве K , если указано правило, в силу
которого каждой основной функции ϕ ( x ) сопоставлено некоторое
число ( f , ϕ ) и при этом выполнены следующие условия:
   а) для любых двух вещественных чисел α1 , α 2 и любых двух ос-
новных функций ϕ1 ( x ) , ϕ2 ( x ) имеет место равенство

                ( f , α1ϕ1 + α 2 ϕ2 ) = α1 ( f , ϕ1 ) + α 2 ( f , ϕ2 ) ;
    б) если последовательность основных функций ϕ1 ,K ϕn ,K стре-
мится к нулю в пространстве K , то последовательность чисел
( f , ϕ1 ) ,K, ( f , ϕn ) ,K сходится к нулю.
   Если f ( x ) локально интегрируемая в Rn , то с ее помощью можно
каждой основной функции ϕ ( x ) поставить в соответствие число

                               ( f , ϕ) =   ∫    f ( x)ϕ ( x ) dx.         (1.1.3)
                                            Rn
   Легко видеть, что выражение (1.1.3) является линейным функцио-
налом. Известно, что не все линейные функционалы представимы в
виде (1.1.3). Линейные функционалы, представимые в виде (1.1.3),
называются регулярными, все остальные – сингулярными.



                                            9

Страницы