Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
Г л а в а 1
Определение и методы вычисления
гиперсингулярного интеграла Адамара
1.1. Интеграл Адамара
В работе [1] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов.
Определение 1.1.1
[1]. Интеграл вида
()
()
b
p
a
Axdx
bx
+
α
−
∫
(1.1.1 )
при целом
p
и
01<α<
определяет величину («конечную часть»)
рассматриваемого интеграла:
1) как половину соответствующего интеграла вдоль контура
[]
,ab ;
2)
как предел при
x
b→ суммы
()
()
()
()
1
,
x
pp
a
Atdt B x
bt bx
+
α+α−
+
−−
∫
если предположить, что ()Ax имеет
p производных в окрестности
точки
b. Здесь B(x) – любая функция, на которую налагаются два
условия:
а) рассматриваемый предел существует;
б)
B(x) имеет, по крайней мере, p производных в окрестности точ-
ки
x = b.
Произвольный выбор
B(x) никак не влияет на значение получае-
мого предела: условие а) определяет значения 1
p
−
первых произ-
водных от
B(x) в точке b , так что произвольный добавочный член в
числителе есть бесконечно малая величина, по меньшей мере поряд-
ка
()
p
bx− . 
                            Глава 1
     Определение и методы вычисления
    гиперсингулярного интеграла Адамара
                  1.1. Интеграл Адамара
   В работе [1] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов.
   Определение 1.1.1 [1]. Интеграл вида
                             b
                                     A ( x ) dx
                             ∫ ( b − x ) p+α                  (1.1.1 )
                             a

при целом p и 0 < α < 1 определяет величину («конечную часть»)
рассматриваемого интеграла:
     1) как половину соответствующего интеграла вдоль контура
[ b] ;
 a ,
   2) как предел при x → b суммы
                    x
                        A ( t ) dt                B ( x)
                    ∫ ( b − t ) p+α + ( b − x ) p+α−1 ,
                    a

если предположить, что A( x) имеет p производных в окрестности
точки b. Здесь B(x) – любая функция, на которую налагаются два
условия:
   а) рассматриваемый предел существует;
   б) B(x) имеет, по крайней мере, p производных в окрестности точ-
ки x = b.
   Произвольный выбор B(x) никак не влияет на значение получае-
мого предела: условие а) определяет значения p − 1 первых произ-
водных от B(x) в точке b , так что произвольный добавочный член в
числителе есть бесконечно малая величина, по меньшей мере поряд-
           p
ка ( b − x ) .



                                        7

Страницы