Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
Ж. Адамар назвал этот предел «конечной частью» интеграла и
обозначил
()
()
.
b
p
a
Axdx
bx
+
α
−
∫
Знак
означает конечную часть интеграла.
Один из способов вычисления интеграла Адамара заключается в
следующем. Представим интеграл (1.1.1) в виде
()
()
()
()
1
bb
pp
aa
A x dx A x dx
bx bx
+α +α
=
+
−−
∫∫
()
()
()
()( )
()
()
1
(1)
α
,
1! 1 !
b
p
p
p
a
Ab A b x b
dx
Ab x b
p
bx
−
−
+
⎡⎤
′
−
⎢⎥
+ + −++
−
⎢⎥
−
⎣⎦
∫
K (1.1.2)
где
() () ()
()
()
()
()( )
()
1
1
1
.
1! 1 !
p
p
Ab A b x b
Ax Ax Ab xb
p
−
−
′
−
=−− −−−
−
K
Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части форму-
лы (1.1.2) по определению 1.1.1, в котором
()
()
()( )
()
()
(
)
()( )
()
11
1
1
,
121! 1!
pp
p
Ab Abbx A bbx
Bx
pp p
−
−
−
′
−− −
=− ++
+α− +α− α −
K
имеем
()
()
()
()()
()
()
()
()()
()
()
1
1
1
1
1
.
11!
bb
p
p
pp p
aa
A x dx A b A b A x dx
bx p ba p ba bx
−
−
+
α+α− α+α
−
=− − − ⋅
−+α−− −α−−
∫∫
K
   Ж. Адамар назвал этот предел «конечной частью» интеграла и
обозначил
                                                b
                                                      A ( x ) dx
                                                ∫ ( b − x ) p+α .
                                                a

      Знак         означает конечную часть интеграла.

   Один из способов вычисления интеграла Адамара заключается в
следующем. Представим интеграл (1.1.1) в виде
                                  b                       b
                                      A ( x ) dx              A1 ( x ) dx
                                  ∫ ( b − x ) p+α ∫ ( b − x ) p+α +
                                                      =
                                  a               a

       b⎡                                                      p −1
                A′ ( b )                A( p −1) ( b )( x − b ) ⎤          dx
     + A( b ) +
       ∫
       ⎢                 ( x − b) + K +                             ⎥                , (1.1.2)
       ⎢
      a⎣
                 1!                             ( p − 1)!           ⎥ ( b − x ) p +α
                                                                    ⎦
                                                                                                      p −1
                                                                       A(
                                                                            p −1)
                                          A′ ( b )                                   ( b )( x − b )
где A1 ( x ) = A ( x ) − A ( b ) −                   ( x − b) −K −                                           .
                                               1!                                   ( p − 1)!
   Вычисляя второй из интегралов, стоящих в правой части форму-
лы (1.1.2) по определению 1.1.1, в котором

      B ( x) =
                    A(b)
                              −
                                  A′ ( b )( b − x )
                                                      +K+
                                                               ( −1) p−1 A( p −1) ( b )( b − x ) p−1 ,
                   p + α −1       ( p + α − 2 )1!                         α ( p − 1)!

имеем

                                                  −1) A( ) ( b)
 b                                                   p−1 p−1         b
       A( x ) dx                      A( b )    (                       A1 ( x ) dx
∫ ( b − x) p+α = − ( p + α −1)(b − a) p+α−1 −K− ( p −1)!α( b − a)α ⋅ ∫ (b − x) p+α .
a                                                                    a




                                                       8

Страницы