Высшая математика. Бурлова Л.В - 21 стр.

     Вариант 8.                                                    3) Найти уравнение средней линии трапеции.
Задание 1.      Решить матричное уравнение (используя              4)Вычислить длину средней линии трапеции.
обратную матрицу):                                                 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по
                 0 2 − 1                                         разные стороны от средней линии трапеции.
                                 4 1 2
XА = B; где A =  1 − 3 2 ; B =                               А(2,-5), В(-1,1), С(0,4), Д(6,7), М(5,2)
                4 −1 3          11 4 5                         Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД.
                         
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему               1)составить уравнение плоскости АВС;
уравнений, найти общее и базисное решение:                         2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через
 3 x1 + x2 − 4 x3 − x4 = −9,                                      точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д
− 4 x + 3 x + x − 3 x = 12,                                       перпендикулярно плоскости АВС;
      1      2    3      4
                                                                   3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из

 − x1 + 4 x2 − 3 x3 − 4 x4 = 3,                                   точки Д;
 x1 + 9 x2 − 10 x3 − 9 x4 = −3                                   4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС;
Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции,                 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания
используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и               АВС;
вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему           6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие
методом Гаусса:                                                    косинусы;
    1     9 1 2                21                              7)найти угол между диагоналями параллелограмма,
                               
    6     7 3 5                47                              построенного на векторах АВ и AC :
А = 4     1 3 7 ,         В =  41                              А(7,5,8), В(-4,-5,3), С(2,-3,5), Д(5,1,-4)
    2     3 1 4                21 
                                                                Задание 6. Найти собственные значения и собственные
                                 
     1    6 2 8               36                              нормированные векторы, соответствующие действительным
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение               собственным значениям данной квадратной матрицы:
какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому                 − 4 6 − 1
найденному базису:
                                                                             
                                                                    1 1 − 1
      7         − 5         − 2         − 4        1     − 6 6 1 
                                                    
      − 3       2           1           2           2              
а1 =  2 , а2 =  − 1 , а3 =  − 1 , а4 =  − 2 , а5 =  3    Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса;
      − 1      0            1           2          0     2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус;
                                            
      0          −1          1           2          1    а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх -
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и                 уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние.
точка М.                                                           Постройте чертеж.
1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией.
                                                                   1) е = 7 , А(8,0) ; 2) А(3,- 3 ) , В ( 13 ,6) ; 3) Д:у=4.
2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на                     8                    5          5
основание АД.

39                                                                                                                          40