Высшая математика. Бурлова Л.В - 23 стр.

Вариант 10.                                                  3) Найти уравнение средней линии трапеции.
Задание 1.    Решить матричное уравнение (используя          4)Вычислить длину средней линии трапеции.
обратную матрицу):                                           5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по
                 1 4 − 5                                   разные стороны от средней линии трапеции.
                                6 12 − 17 
XА = B; где A =  0 2  1 ; B =                          А(-6,5), В(0,4), С(2,-1), Д(-2,-5), М(4,5)
                1 − 1 2         4 − 19 29                Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД.
                        
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему         1)составить уравнение плоскости АВС;
уравнений, найти общее и базисное решение:                   2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через
 5 x1 − 3x2 + x3 + 3x4 = −9,                                точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д
 x + 4 x − 9 x − 4 x = −11,                                 перпендикулярно плоскости АВС;
 1         2      3      4                                  3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из

 − 4 x1 + 7 x2 − 10 x3 − 7 x4 = −2,                         точки Д;
 − 6 x1 − x2 + 8 x3 + x4 = 20                              4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС;
Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции,           5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания
используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и         АВС;
вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему     6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие
методом Гаусса:                                              косинусы;
  6       1 2 5                                            7)найти угол между диагоналями параллелограмма,
                            19 
                                                           построенного на векторах АВ и AC :
  5       5 2 8             37 
А=1       3 4 7 ,      В =  28                           А(-5,-4,-3), В(7,3,-1), С(6,-2,0), Д(3,2,-7)
  8       5 1 4             34                           Задание 6. Найти собственные значения и собственные
                           
   10     4 5 8            44                           нормированные векторы, соответствующие действительным
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение         собственным значениям данной квадратной матрицы:
какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому           7 −5 5 
                                                                       
найденному базису:                                            8 −5 6 
      2         4        2         1         0      − 2 3 − 2
                                                             
      −1        − 2       − 1      1         0
а1 =  3 , а2 =  5 , а3 =  1 , а4 =  0 , а5 =  1    Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса;
      − 2      1         8         0         0     2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус;
                                      
      4          7        2         0         0    а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх -
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и           уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние.
точка М.                                                     Постройте чертеж.
1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией.    1) 2а = 22, е = 10 ; 2) к = 11 , 2с = 12 ; 3)ось симметрии
2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на                         11          5
                                                             0х и А(-7,5).
основание АД.
                                                                                                                      44
43