ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
3
500
003
5lim
1
lim
7
lim
1
lim
1
lim3lim
5
17
11
3
lim
57
13
lim
2
2
2
2
2
2
−=
−+
+−
=
−+
+−
=
−+
+−
=
−+
+−
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→
xxx
xxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
Первый замечательный предел:
Пример. Найти
.
7
3sin
lim
0
xtg
x
x→
Произведем тождественные преобразования, так как
имеем неопределенное выражение:
.1
7
7sin
lim
3
3sin
lim
;10cos7coslimкактак,
7
3
7
7sin
3
3sin
7coslim
7
3
7cos
1
7
7sin
7
3
3sin
3
lim
0
0
7
3sin
lim
00
0
000
==
===
=⋅=
⋅⋅
⋅
=
=
→→
→
→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xtg
x
xx
x
xxx
Пример. Найти
.
9arcsin
4
lim
0
x
x
x→
Сделаем замену переменной
α
=
x
9arcsin
. Тогда
00прииsin
9
1
илиsin9 →→==
ααα
хxx
. И так
9
4
sin
9
4
lim
0
0
9arcsin
4
lim
00
==
=
→→
α
α
α
x
x
x
.
Второй замечательный предел:
Пример. Найдем следующий предел
47
{}
.
16
75
16
75
1
1lim
75
16)75(
lim1
75
95
lim
5
647
5
16
64
lim
75
1664
lim
75
)14(16
16
75
1414
ee
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
выражение
нноенеопределе
x
x
x
x
=
=
==
∞→
−
=
−
+=
=
−
+−
==
−
+
−
−
−
−
−
−
−
∞→
−
∞→
∞
−
∞→
∞→
∞→
4. Непрерывность функции в точке, на отрезке.
Точки разрыва и их классификация.
Непрерывность элементарных функций.
Определение: функция называется непрерывной в точке
если выполняется равенство
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
или подробнее
)()(lim)(lim
0
00
00
xfxfxf
xxxx
=
=
+→−→
.
Это означает, что функция должна быть определена в
точке
0
х
, должен существовать предел функции в данной
точке (это равносильно существованию пределов слева и
справа в точке
0
х
и их равенству) и должны выполняться все
равенства. Если одно из перечисленных условий не
выполняется, то в точке
0
х
функция терпит разрыв.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
>−
≤<∞−
−
=
.3,15
,3,
2
4
)(
xx
x
x
x
xf
На каждом из указанных промежутков функция
является элементарной, поэтому точки, где функция не будет
48
e=+=
+
→∞→
β
β
α
α
β
α
1
0
)1(lim
1
1lim
1
sin
lim
0
=
→
α
α
x
1 1 1 1 4 x −1 4 x −1
2
3x − x + 1
= lim
3− + 2 lim 3 − lim + lim 2
x x = x→∞ x→∞ x x→∞ x
=
3−0+0
=−
3 lim
5x + 9
x →∞ 5 x − 7
= {1 }
∞
= lim
(5 x − 7) + 16
=
lim
x →∞ 7 + x − 5x 2 x→∞ 7 1 7 1 0+0−5 5
неопределенное x → ∞ 5x − 7
+ − 5 lim 2 + lim − lim 5 выражение
x2 x x →∞ x x →∞ x x→∞
16 ( 4 x −1)
5 x −7
5 x −7
Первый замечательный предел: sin α 16
1
64 x −16
lim =1 5x − 7 lim
x →0 α = lim 1 + = → ∞ = e x →∞ 5 x −7 =
x →∞ 5x − 7 16
Пример. Найти lim
sin 3 x
. 16
x→ 0 tg 7 x
16
64 −
Произведем тождественные преобразования, так как lim x
x →∞ 7 64
имеем неопределенное выражение: 5−
sin 3x sin 3 x = e x = e5.
3x ⋅
sin 3x 0 3x 3
lim = = lim = lim cos 7 x ⋅ 3x = 4. Непрерывность функции в точке, на отрезке.
x → 0 tg 7 x
0 x → 0 sin 7 x 1 7 x →0 sin 7 x
7x ⋅ ⋅ Точки разрыва и их классификация.
7 x cos 7 x 7x
3 Непрерывность элементарных функций.
= , так как lim cos 7 x = cos 0 = 1;
7 x →0
Определение: функция называется непрерывной в точке
sin 3x sin 7 x
lim = lim = 1. если выполняется равенство
x →0 3x x →0 7 x
lim f ( x) = f ( x0 )
Пример. Найти lim 4 x . x → x0
x→ 0 arcsin 9 x или подробнее lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0 − 0 x → x0 + 0
Сделаем замену переменной arcsin 9 x = α . Тогда
1 Это означает, что функция должна быть определена в
9 x = sin α или x = sin α и при х → 0 α → 0 . И так точке х 0 , должен существовать предел функции в данной
9
4 точке (это равносильно существованию пределов слева и
sin α справа в точке х 0 и их равенству) и должны выполняться все
4x
0 4
lim = = lim 9 = .
x → 0 arcsin 9 x 0 α →0 α 9 равенства. Если одно из перечисленных условий не
Второй замечательный предел: выполняется, то в точке х 0 функция терпит разрыв.
1
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
α
1 4x
lim 1 + = lim (1 + β ) β = e
f ( x) = x − 2
, − ∞ < x ≤ 3,
α → ∞ α β →0
15 − x, x > 3.
Пример. Найдем следующий предел На каждом из указанных промежутков функция
является элементарной, поэтому точки, где функция не будет
47 48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
