Высшая математика. Бурлова Л.В - 25 стр.

                          1 1               1        1                                                4 x −1                                                   4 x −1
       2
     3x − x + 1
                  = lim
                        3− + 2 lim 3 − lim + lim 2
                          x x = x→∞    x→∞ x    x→∞ x
                                                       =
                                                         3−0+0
                                                               =−
                                                                  3               lim 
                                                                                        5x + 9 
                                                                                                 
                                                                                  x →∞  5 x − 7 
                                                                                                               =       {1 }
                                                                                                                         ∞
                                                                                                                                  = lim 
                                                                                                                                           (5 x − 7) + 16 
                                                                                                                                                                       =
lim
x →∞ 7 + x − 5x 2   x→∞ 7  1         7        1          0+0−5    5
                                                                                                                   неопределенное   x → ∞  5x − 7 
                          + − 5 lim 2 + lim − lim 5                                                                выражение
                        x2 x    x →∞ x   x →∞ x   x→∞
                                                                                                                           16 ( 4 x −1)
                                                                                                       5 x −7
                                                                                                                           5 x −7
      Первый замечательный предел:                        sin α                                    16 
                                                                                                1 
                                                                                                                                                                        64 x −16
                                                   lim            =1                                                                       5x − 7           lim
                                                   x →0    α                      = lim  1 +                                               =       → ∞  = e x →∞     5 x −7    =
                                                                                    x →∞     5x − 7                                          16        
                                                                                                           
      Пример. Найти lim
                       sin 3 x
                               .                                                            16            
                   x→ 0 tg 7 x
                                                                                                16
                                                                                            64 −
    Произведем тождественные преобразования, так как                                     lim     x
                                                                                        x →∞    7         64
имеем неопределенное выражение:                                                              5−
                                        sin 3x                  sin 3 x           =   e         x    =   e5.
                             3x ⋅
     sin 3x  0                          3x      3
lim          =   = lim                         = lim cos 7 x ⋅ 3x =                              4. Непрерывность функции в точке, на отрезке.
x → 0 tg 7 x    
                 0      x → 0      sin 7 x     1  7 x →0        sin 7 x
                              7x ⋅         ⋅                                                          Точки   разрыва    и    их    классификация.
                                     7 x cos 7 x                  7x
   3                                                                                                  Непрерывность элементарных функций.
= , так как lim cos 7 x = cos 0 = 1;
   7               x →0
                                                                                       Определение: функция называется непрерывной в точке
     sin 3x         sin 7 x
lim          = lim            = 1.                                                если выполняется равенство
x →0 3x        x →0 7 x
                                                                                                                                    lim f ( x) = f ( x0 )
        Пример. Найти lim 4 x .                                                                                                     x → x0

                                x→ 0 arcsin 9 x                                   или подробнее                          lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) .
                                                                                                                       x → x0 − 0              x → x0 + 0
      Сделаем       замену        переменной       arcsin 9 x = α .       Тогда
                        1                                                              Это означает, что функция должна быть определена в
9 x = sin α   или x =     sin α и при х → 0 α → 0 . И так                         точке х 0 , должен существовать предел функции в данной
                        9
                               4                                                  точке (это равносильно существованию пределов слева и
                                 sin α                                            справа в точке х 0 и их равенству) и должны выполняться все
         4x         
                     0                  4
lim              =   = lim 9         = .
x → 0 arcsin 9 x    0  α →0 α         9                                         равенства. Если одно из перечисленных условий не
      Второй замечательный предел:                                                выполняется, то в точке х 0 функция терпит разрыв.
                                               1
                                                                                       Пример. Исследовать на непрерывность функцию
                              α
                       1                                                                  4x
                 lim 1 +  = lim (1 + β ) β = e                                           
                                                                                  f ( x) =  x − 2
                                                                                                   ,           − ∞ < x ≤ 3,
                 α → ∞  α   β →0
                                                                                           15 − x,                   x > 3.
      Пример. Найдем следующий предел                                                  На каждом из указанных промежутков функция
                                                                                  является элементарной, поэтому точки, где функция не будет

47                                                                                                                                                                                     48