Высшая математика. Бурлова Л.В - 26 стр.

непрерывной, это точки, в которых функция не определена,
или точки, где функция меняет свое аналитическое                                     6. y = x α          y ′ = α x α −1
выражение. Следовательно, х=2 – точка разрыва, т.к. в ней
функция не определена. Проверим точку х=3, в которой                                 7. y = e x         y′ = e x
функция меняет свое аналитическое выражение.                                         8. y = a x         y ′ = a x ln a
                            4x     12
       lim f ( x) = lim          =    = 12                                                                     1
     x →3− 0       x →3− 0 x − 2    1                                                9. y = ln x        y′ =
                                                                                                               x
       lim f ( x) = lim (15 − x) = 12
         x →3+ 0         x →3+ 0                                                                                   1
      f (3) = 12.                                                                    10. y = log a x    y′ =
                                                                                                               x ⋅ ln a
     Равенство выполняется,                             поэтому    х=3   –   точка   11. y = sin x       y ′ = cos x
непрерывности функций.
                                                                                     12. y = cos x       y ′ = − sin x
              IV. Производная функции и ее приложения                                                              1
                                                                                     13. y = tgx         y′ =
                                                                                                                  cos 2 x
              1.     Производная функции. Геометрический и
                                                                                                                          1
                   физический смысл производной. Производные                         14. y = ctgx          y′ = −
                   основных элементарных функций. Производная                                                        sin 2 x
                   сложной функции. Дифференциал функции.                                                               1
                   Уравнение касательной и нормали к графику                         15. y = arcsin x       y′ =
                   функции. Производная параметрической, неявной                                                     1− x 2
                   функции, логарифмическое дифференцирование.                                                              1
                                                                                     16. y = arccos x      y′ = −
                   Производные высших порядков.                                                                         1− x 2
                                                                                                                    1
    Для усвоения техники дифференцирования необходимо                                17. y = arctgx       y′ =
хорошо знать правила дифференцирования (1-5), таблицу                                                          1 + x2
производных элементарных функций (6-18), правило                                                                      1
                                                                                     18. y = arcctgx     y′ = −
нахождения производной сложной функции (19).                                                                      1 + x2
1. y = c = const                          y′ = 0
                                                                                     19. y = f (u ( x))   y ′ = f u/ ⋅ u x/
                                                                                           Примеры. 1) Найдем производную функции
2. y = c ⋅ u ( x)                         y ′ = c ⋅ u ′ ( x)                                                                  4
                                                                                                               y = 6x 5 − 3       + 9.
3. y = u ( x) ± v ( x)                 y ′ = u ′ ( x) ± v ′ ( x)                                                              x
4. y = u ( x) ⋅ v ( x)                y′ = u′ v + u v′                                   Применяя правила дифференцирования (3), (2) и (1),
         u ( x)                           u ′v − u v′                                имеем
5. y =                             y′ =
         v ( x)                               v2

49                                                                                                                                       50